МАТЕМАТИКА О СЛУЧАЙНОСТИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ. ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ.

К теории вероятностей, как разделу математики я отношусь достаточно сдержанно. Как-то не заладилось взаимопонимание.

Из всего, что я знаю, приятно удивляет только очень красивое обоснование Закона Больших Чисел и многочисленных его обобщений и усилений, например, Центральная Предельная Теоремы, которые очень изящно объясняют, почему случайные величины, когда их набирается приличная толпа, ведут себя совсем не случайно. Этим я и постараюсь приятно удивить.

Всё остальное, то есть математическая статистика – довольно рутинно, даже где-то скучно, хотя приложения могут быть очень интересными. Но это уже прикладная математика. У неё своя жизнь.

Отдельное подозрение вызывает происхождение теории вероятностей – из азартных игр. Стандартный набор тем для задач – это игральные карты, кости и рулетка. Всё это на грани здоровой любознательности с нездоровым любопытством.

Но может именно скучноватая математика сможет охладить интерес к азартным играм?

В общем, читайте.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (СКАЧАТЬ).

home page

Введение в книгу

Так получается, что только сейчас я понял, что одно из приятных дел в моей жизни – это говорить или писать свободно. Свобода, конечно, ограниченная десятью заповедями, но, в остальном, спасибо, конечно, тем, кто дал образцы изложения мыслей, многие из которых превратились в жёсткие каноны почти божественного свойства, но, вот, пишу, как хочу.

Разумеется, пишу не что попало, а о Математике. Которую люблю.

Удивляюсь. Чтобы понять, что я её таки люблю, надо было прожить 30 лет, которые Математикой никак не оплачены в денежном эквиваленте, зато очень щедро вдохновением и неиссякаемым интересом.

Конечно, Математика нравилась мне ещё в школе. Может быть просто потому, что всё нравится, что получается. Получается рисовать – рисуешь, петь – поёшь.

Потом надо было думать о будущем насущном хлебе и я подумал, что математику я люблю больше, чем петь или рисовать.

Поэтому поступил в Московский государственный университет, уточняю, им. М.В. Ломоносова, на мехмат. Тогда я ещё не думал, что Математика тоже ко мне не равнодушна. Поступил и поступил. Тут же подумал, что надо поступать в аспирантуру и защищать кандидатскую диссертацию. Когда пришло время поступил, а потом и защитил.

Учился я легко, на занятия практически не ходил, хватало библиотеки, причём без фанатизма. Основное время уходило на спорт. Не хвастаясь, потому что был далеко не лучшим спортсменом, всё же скажу, что был членом сборной МГУ по лёгкой атлетике (бег, средние дистанции). А лучшие достижения – это 1,5 км за 4 мин 0,2 сек в Кяярику, Эстония (блин, чуть-чуть не выбежал из 4 мин), 3 мин 33 сек на 1000 м (не выбежал из 3.30), хотя и победил тогда на матче  МГУ – СКИФ (институт физкультуры). Кстати, в том числе Игоря Минтусова, который бежал вне конкурса от МГУ, а теперь знаменитый человек.

Отношения с Математикой, таким образом, были лёгкими, приятными и без серьёзных обязательств. Мы не надоедали друг другу, тем более не клялись в верности. 

Впрочем, после учёбы я почувствовал, что Математика чем-то недовольна. Почти готовая диссертация очень трудно дописывалась, но все же дописалась. И тогда я себе сказал: «Всё основное сделано. Живи спокойно». И ровно год жил спокойно.

И только через год после защиты я понял, что жить спокойно без Неё не могу.  

Нет, это не конец введения. Просто надо передохнуть и собраться с мыслями.

  3 минута 


home page

З0 лет “Аналитическим свойствам”. Промежуточные итоги вдохновляют.

Возможно, внимательные читатели моего блога обратили внимание, что я верю в Бога. Я не часто касался этой стороны своей математической жизни хотя бы потому, что явных, неоспоримых, видимых всем чудесных событий, пожалуй, и не было.

Но сейчас, подводя промежуточные итоги, считаю нечестным объяснить своё “везение” только своими способностями и своими желаниями. Я всегда чувствовал Его помощь и поддержку. А поскольку я математик, то сформулирую точно своё мировоззрение. Это каноническое христианство и осторожно добавляю ортодоксальное, православное, учитывая характерную для сегодняшнего для потерю смыслов очень многих слов и понятий.

Да, промежуточные итоги.

Первые 10 лет ушли на понимание выбранной темы и осознание предстоящей непростой задачи – заявить о своих результатах. Первое и главное удивление – это то, что бороться пришлось не за приоритет с сильными командами, вслед за мной осознавшими богатство найденной золотой жилы, а за самые заурядные публикации. Точности ради, добавлю, что некоторая конкуренция в теме была, но паралельные старатели начали копать слишком далеко от меня то ли из гордости, то ли из плохо развитого чувства, которое иногда называют шестым. Я бы не счёл зазорным учесть их достижения, но учитывать нечего. Фамилии и работы не называю, так как следую принципу отражать только хорошее и заслуживающее внимание, а конкуренты в моей теме до нужного высокого уровня не поднялись.

Следующие 10 лет – это суровая борьба за публикации. Она была бы неуспешной, но нашлись и искренние мои друзья, и те, кто, вообще наоборот, помогали, надеясь на моё посрамление, которое не могло бы состояться без публикации. 

Те, кто жаждал моего  позора, не удержались в рамках своих внутренных нехороших помыслов и кто больше, кто меньше, поучаствовали в осуществлении моего провала на защите докторской диссертации. Как я их и предостерегал, провал случился у них, а не у меня. На защите они и двух слов не нашли для критики диссертации, но при этом изыскали внутренние резервы, чтобы нужное число из совета проголосовало “против”. После защиты я им говорил, что мне их жаль, но они сами сознательно "надели те неприличные наряды, которые надели" (современная украинская политическая классика). Я достаточно хорошо знаю всю механику того, что случилось до защиты, во время и после: “кто, кому, когда и зачем.” За пивом друзьям, конечно, могу рассказать, но не на блоге же.

А о других пока умалчиваю, чтобы не создавать им проблем.

Недавно умер замечательный математик, Юрий Макарович Березанский.

Он был прекрасным специалистом по функциональному анализу. Я не стану перечислять все его заслуги и прекрасные личные качества, о которых слышал от других. Я с ним был знаком очень немного.

Хотя он и не был прямым специалистом в моей теме, но, очевидно, что узким специалистом он не был, поскольку именно он очень посодействовал моим публикациям в MFAT и в УМЖ. Ему понравился результат о полной классификации целых решений задачи о движении тяжёлого твёрдого тела. Замечу, что прямые специалисты аналогичные результаты считают не интересными.

Именно Юрий Макарович очень настойчиво мне сказал о необходимости подготовки докторской диссертации и сколько мог, помогал мне. Пишу сколько мог, поскольку после публикаций тех двух статей и поддержки на докладе в киевском институте математики он вполне честно сказал, что больше помогать мне не сможет. Я, естественно, не спросил почему, так как всё понимал, но поблагодарил за то, что он мне помог.

Ещё очень мне помог Фридрих Хирцебрух, поддержав мой подход к задаче о движении трёх тел в первоначальном её классическом варианте и рекомендовав самую первую статью в "Communications in Mathematical Physics." 

Остальным математикам, помогавшим мне в публикациях, и которых я здесь не упоминаю в конкретном контексте событий, пока могу только пожелать крепкого здоровья и очень плодотворной творческой работы. И ещё, я хорошо помню, кто и как мне помогал.

Последние 10 лет – это приятное чувство хорошо выполненной работы. Это искреннее желание благодарить всех за помощь, притом, с очевидными оговорками, в том числе и тех, кто желая мне зла, совершал для меня благо: искал с нехорошими чувствами ошибки в моих статьях, а также, желая меня вычеркнуть из высшего математического общества, рекламировал меня в нём и, тем самым, доказывал мою значимость на самом высоком уровне.

Сейчас даже самые изысканные мои результаты признаются не интересными. Новый случай в задаче Ковалевской тихо замолчали, хотя грозились доказать мне, что он не новый. Прошло с момента моего доклада почти 3 с половиной года. И где фанфары? где случай Беляева? где хотя бы скромное признание результата?

А у меня имеется уже три новых случая в задаче Ковалевской. И я, вот, думаю, стоит ли искать полный список?

Или может стоит подумать о чём-нибудь интересном, чтобы его объявили не интересным?

А пока я пишу книгу и размышляю о смысле Бытия.

home page

ОГЛАВЛЕНИЕ. ТОЛЬКО КРАСИВАЯ МАТЕМАТИКА.

ВВЕДЕНИЕ В КНИГУ

ШКОЛЬНУЮ  МАТЕМАТИКУ – ЗА ГОД!

Гл.1. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства.

§1. Дроби.
§2. Свойства степеней.

§3. Формулы сокращённого умножения. 7

§4. Решение квадратного уравнения. Теорема Виета. 10

§5. Решение алгебраических уравнений. 12

§6. Решение алгебраических неравенств степени выше второй. 15

§7. Решение алгебраических неравенств. 16

Гл.2. Тригонометрические выражения, уравнения, неравенства. 19

§1. Главные формулы тригонометрии. 19

§2. Остальные формулы тригонометрии. 22

§3. Обратные тригонометрические функции. 25

Гл.3. Показательная функция. Логарифм. 28

§1. Показательная функция. 28

§2. Логарифм. 29

§3. Формулы для логарифма. 32

§4. Неравенства с логарифмами. 34

Гл.4. Прогрессии. Бином Ньютона. 37

§1. Арифметическая прогрессия. 37

§2. Геометрическая прогрессия. 38
§3. Бином Ньютона.

35 страницы.

ВСТУПЛЕНИЕ В ВЫСШУЮ  МАТЕМАТИКУ 

Гл. 1. Математический анализ. 3

§ 1. Аксиоматика множества действительных чисел. 5

§ 2. Теорема о вложенных отрезках. 8

§ 3. Предел последовательности. 9

§4. Точные верхняя и нижняя грани. 13

§5 Предел функции. 15

§6. Непрерывные функции. 17

§7. Дифференцируемость функции. 19

§8. Правило Лопиталя. 24

§ 9. Первообразная. 25

§10. Определённый интеграл Римана. 26

§11. Свойства определённого интеграла. 30

§12. Формула Тейлора. 33

Гл. 2. Комплексный анализ

§1. Аксиоматика множества комплексных чисел. 5

§ 2. Предел последовательности, функции, производная и первообразная. 7

§ 3. Ряды. Элементарные функции. 13

§ 4. Геометрическое и экспоненциальное представление комплексных чисел. 20

§ 5. Аналитическое продолжение функций. 21

§6. Определенный интеграл (Римана). Вычеты. 23

§7. Основная теорема алгебры. 26

Гл. 3. Линейная алгебра

§1. Аксиомы линейного пространства

§2. Объём n-мерного параллелепипеда.

§3. Определитель. 10

§4. Линейное преобразование и его матричное представление. 14

§5. Обратная матрица и метод Крамера решения линейного уравнения. 16

§6. Инвариантные свойства линейного преобразования. 18

§7. Структура линейного преобразования. 19

§8. Евклидово пространство. 22

§9. Основная теорема дифференциальных уравнений. 24

§10. Ортогональные преобразования. 25

Гл. 4. Аналитическая геометрия 

§1 Евклидова геометрия. 4

§2 Избранные теоремы планиметрии и стереометрии. 7

§3 Кривые и поверхности второго порядка. 13

§4. Векторное произведение. Алгебры Ли. 

94 страницы.

МАТЕМАТИКА, КОТОРАЯ ЖИВЁТ САМА ПО СЕБЕ

Гл. 1. Теорема Стокса. 3

§ 1. То же что в R но в R^n.

§ 2. Дифференциальные формы. Теорема Стокса. 10
§ 3. Примеры.
§ 4. Алгебра дифференциальных когомологий.

§ 5. Первые понятия топологии.

§ 6. Группа сингулярных гомологий и алгебра сингулярных когомологий.

§ 7. Когомологии Чеха.

Гл. 2. Линейные дифференциальные уравнения.

§1. Определение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. 4

§2. Общее решение системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений. Невырожденный случай. 5

§3. Общее решение системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений. Вырожденный случай. 6

§4. Общее решение системы обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений. 7
§5. Система линейных уравнений с переменными коэффициентами.
§6. Уравнение Риккати.
§7. Линейная аппроксимация.

Гл. 3. Гильбертовы пространства. 4

§1. Определение гильбертова пространства. 4

§2. Сходимость ряда Фурье. 6

§3. Самосопряжённые и компактные операторы. 9

§4. Преобразование Фурье. 12

§5. Линейные функционалы.

§6. Аксиомы квантовой механики.

§7. Квантование.

Гл. 4. Все геометрии. 4

§1. Евклидова геометрия. 4

§2. Проективная геометрия. 5

§3. Геометрия Лобачевского. 10

§4. Геометрия Римана. 12

§5. Специальная теория относительности.

§6. Кривизна.

§7. Общая теория относительности.

Гл. 5. Двоякопериодические функции, непрерывный факториал и другие.

§1. Функция Вейерштрасса. 

§2. Свойства функций Вейерштрасса.

§3. Эллиптические функции. 6
§4. Параметрическое отображение последования.

§5. Гамма-функция Эйлера.

§6. Бета-функция Эйлера.

§7. Дзета-функция Римана.

Гл. 6. Абелевы группы, гомологии и когомологии.

§1. Аксиомы группы.

§2. Подгруппы.

§3. Теорема о классификации абелевых групп.

§4. Гомоморфизмы гомологий.

§5. Гомологии сфер и проективных пространств.

§6. Гомотопические группы.

§7. Точная последовательность расслоения.

Гл. 7. Негладкая математика.

§1. Мера, измеримые функции.

§2. Интеграл Лебега.

§3. Абсолютно непрерывные функции.

§4. Дифференцирование.

§5. Интеграл Лебега - Стилтьеса.

§6. Малые знаменатели.

§7. Разрушение тора.

106 страниц.

ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Гл. 1. Гамильтоновы системы. 4

§1. Каноническая гамильтонова система. 4

§2. Теорема Лиувилля. 7

§3. Редукция гамильтоновой системы с группы Ли на алгебру. 9

§4. Классическая задача о движении тяжёлого твёрдого тела с закреплённой точкой. 12

§5. Случай Эйлера задачи о движении тяжёлого твёрдого тела с закреплённой точкой. 14

§6. Случай Лагранжа задачи о движении тяжёлого твёрдого тела с закреплённой точкой. 16

§7. Случай Ковалевской задачи о движении тяжёлого твёрдого тела с закреплённой точкой. 17

Гл. 2. Точные решения задачи о движении тяжёлого твёрдого тела. 4

§1. Асимптотика в особых точках решений уравнений Эйлера - Пуассона. 4

§2. Решения характеристической системы уравнений Эйлера - Пуассона. 5

§3. Асимптотика  альфа и бета-особых точек. 7

§4. Факторизация фазового потока уравнений Эйлера – Пуассона. 9

§5. Полная классификация целых решений уравнений Эйлера – Пуассона. 11

§6. Полная классификация решений уравнений Эйлера – Пуассона, имеющих 4 интеграла. 13

§7. Полная классификация конечнозначных решений уравнений Эйлера – Пуассона, имеющих альфа-особые точки. 14

§8. Полная классификация конечнозначных решений уравнений Эйлера – Пуассона. 15

Гл. 3. Новые решения случая Ковалевской задачи о движении тяжёлого твёрдого тела. 4

§1. Асимптотика в особых точках решений уравнений Эйлера – Пуассона в случае Ковалевской. 4

§2. Случаи с линейными интегралами и Делоне. 6

§3. Решение случая Делоне в  функциях Вейерштрасса. 7

§4. Решения случая Ковалевской с Kbeta-особыми точками.

§5. Поверхности уровня задачи Ковалевской в параметрическом представлении и изолированное особое решение.

§6. Соответствие особых решений и решений с линейными интегралами.

§7. Эффективизация решения в общем случае Ковалевской.

Гл. 4. Случай Гесса задачи о движении тяжёлого твёрдого тела.

§1. Классические результаты.

§2. Уравнение Риккати в задаче Гесса.
§3. Асимптотика особых точек решений уравнений Эйлера – Пуассона в случае Гесса.
§4. Параметрическое отображение последования для вещественных решений в случае Гесса.
§5. Почти периодические, асимптотически периодические и периодические решения задачи Гесса.
§6. Представление асимптотически периодических решений задачи Гесса.
§7. Однозначные решения уравнений Эйлера – Пуассона в случае Гесса.

Гл. 5. Задача трёх тел.

§1. Классические результаты.

§2. Факторизация задачи n тел.
§3. Уравнения для задачи трёх тел.
§4. Асимптотика особых точек.
§5. Асимптотика квазистолкновений.
§6. Целые решения задачи трёх тел.
§7. Конечнозначные решения задачи трёх тел.

Гл. 6. КАМ-теория.

§1. Классические результаты.
§2. Ряды Линдштедта.
§3. Существование формального ряда Линдштедта, задающего инвариантный тор.
§4. Равномерная сходимость ряда Линдштедта, задающего инвариантный тор.
§5. Теорема о разрушении инвариантного тора.
§6. Решение задачи о движении тяжёлого твёрдого тела в случае Эйлера при комплексном времени.
§7. Аналитические свойства решений, задающих инвариантные торы, при возмущении случая Эйлера задачи о движении тяжёлого твёрдого тела.

Гл. 7. Интегрируемость многомерного обобщения случая Лагранжа задачи о движении тяжёлого твёрдого тела.

§1. Многомерное обобщение случая Лагранжа задачи о движении тяжёлого твёрдого тела.

§2. Асимптотика особых точек решений многомерного обобщения случая Лагранжа.
§3. Целые решения многомерного обобщения случая Лагранжа.
§4. Каноническая гамильтонова структура многомерной задачи Лагранжа.

§5. Редукция многомерной задачи Лагранжа на градуированную алгебру Ли sl(2,K[x]/P(x)).

§7. Асимптотика решений многомерной задачи Лагранжа канонической системы и алгебры Ли sl(2,K[x]/P(x)).
§8. Решение в явном виде многомерной задачи Лагранжа.

160 страниц

Всего вместе с послесловием 400.

Оглавление написал для себя, но вдруг кому-то будет нужно. Книга ещё не дописана, а я пишу её не последовательно и забываю, что и где ещё надо дописать. Вот, поэтому.


home page