Задача о движении тяжёлого твёрдого тела
Задача возникла в 1758, когда Леонард Эйлер опубликовал первое решение, для тела, закреплённого в центре тяжести.
Затем Жозеф Луи Лагранж решил задачу для симметричного волчка с центром тяжести на оси симметрии.
Но революционную идею для систематического исследования предложила Софья Васильевна Ковалевская.
Чтобы не угадывать параметры, при которых задача имеет решение, она рассмотрела поведение решения задачи в комплексной области в окрестности особых точек и предположила, что если решения однозначны, то их вполне возможно найти.
Свой случай (1866), первый несимметричный, не обнаруживаемый на взгляд, Софья Ковалевская решила в квадратурах, что было весьма непросто.
К огорчению последователей идея, в том виде, в каком она была сформулирована С.В. Ковалевской, новых решений получить не позволила и это доказал А.М. Ляпунов.
Поэтому дальнейшие решения Гесса (1890), Бобылева и Стеклова (1896), Стеклова (1899), Горячева (1899), Горячева и Чаплыгина (1900), Чаплыгина (1904), Ковалевского (1908) и Гриоли (1947) были получены с помощью угадывания явного вида решений. Возможно, конечно, что аналитические свойства решений в комплексной области авторами последующих найденных случаев и использовались, но систематического способа они не нашли, иначе нашли бы больше случаев.
Последние, пожалуй, самые нетривиальные случаи (1966, 1970), нашёл Анатолий Иосифович Докшевич. После моего доклада, в котором я рассказал, как можно систематически искать все случаи, он подошёл ко мне и сказал, что тоже, как и я, использовал асимптотику в особых точках решений. Однако свои случаи он опубликовал без каких бы то ни было пояснений.
Но чтобы найти все точные частные решения, нужно знать все возможные асимптотики всех решений.
Идею, как это сделать я опубликовал в 1989, а в 1988 обозначил тему: “Исследование аналитических свойств задачи о движении тяжёлого твёрдого тела.” Потом, конечно, я эту же идею применил и в других классических и не классических задачах.
Идея была в том, что раз задача квазиоднородна, то есть некоторыми растяжениями, не одинаковыми в разных направлениях, можно перевести решения в решения. Так вот если эти, переходящие друг в друга решения, склеить, то всё пространство задачи становится компактным. Что-то вроде сферы, только пятимерной. И тогда все особенности окажутся обнаруживаемыми. А без этого всё очень непросто. Решения задачи могут быть целыми с ужасным поведением в бесконечности. И как с этим бороться? А после компактификации – всё можно. И это я опубликовал коротко в 1999, а уже подробно в 2004.
Все возможные особые точки решений задачи оказались настолько плохими, насколько можно этого не хотеть. И надо было не просто выбрать из плохих асимптотик хорошие, но именно такие, которые складываются в частные решения.
Полдела, а может, чуть меньше, чем полдела я сделал, когда понял как искать решения с четырьмя интегралами в шестимерном пространстве, то есть расположенные на двумерной поверхности. Это опубликовано в Mathematische Nachrichten.
Решения с пятью интегралами – это кривые в пространстве, которые задаются пересекающимися поверхностями, каждая из которых совсем не интеграл. Ясно, что искать их было труднее.
Тем не менее и в этом случае я нашёл способ их найти и тем самым полностью завершить решение классической задачи.
На блоге я сообщил об этом 20.10.2019 г.
Попытался опубликовать результат по теме решения с пятью интегралами в Москве, Новосибирске и Киеве. В Москве рецензент написал, что тема не интересна. В двух других городах даже не удалось договориться о публикации.
The problem of the motion of a heavy rigid body.
The problem arose in 1758, when Leonhard Euler published the first solution for a body fixed at the center of gravity.
Then Joseph Louis Lagrange solved the problem for a symmetric top with a center of gravity on the axis of symmetry.
But the revolutionary idea for systematic research was proposed by Sofya Kovalevskaya.
In order not to guess the parameters for which the problem has a solution, she considered the behavior of the solution to the problem in a complex domain in the vicinity of singular points and assumed that if the solutions are single valued, then it is quite possible to find them.
Sofya Kovalevskaya solved her case in quadratures in 1866: it was the first asymmetric one, not detectable at a glance. That’s why it was not an easy task, actually.
To the chagrin of the followers, the idea in the form in which it was formulated by S.V. Kovalevskaya, did not allow obtaining new solutions, and this was proved by A.M. Lyapunov.
Therefore, further solutions of Hess (1890), Bobylev and Steklov (1896), Steklov (1899), Goryachev (1899), Goryachev and Chaplygin (1900), Chaplygin (1904), Kovalevsky (1908) and Grioli (1947) were obtained using guessing the explicit form of solutions. It is possible, of course, that the analytical properties of solutions in the complex domain were used by the authors of the subsequent found cases, but we can assume tat they had not found a systematic way of finding new cases: otherwise they would have found more cases.
The latter, perhaps the most nontrivial cases (1966, 1970), were found by Anatoly Dokshevich. After my report in Donetsk Institute of Applied Mathematics and Mechanics, in which I described how one can systematically search for all cases, he came up to me and said that, like me, he also used asymptotics at singular points of solutions. However, he published his cases without any explanation and his possible developments were lost in history.
However, in order to find all exact particular solutions, you need to know all possible asymptotics of all solutions.
I published the idea ofhow to do this in 1989, and in 1988 I marked the topic: "Investigation of the analytical properties of the problem of the motion of a heavy rigid body." Then, of course, I applied the same idea to other classical and non-classical problems.
The idea was that since the problem is quasi-homogeneous, that is, with some stretches that are not the same in different directions, it is possible to translate solutions into solutions. So if these solutions, passing into each other, are glued together, then the entire space of the problem becomes compact. Something like a sphere, only five-dimensional. And then all the singularities will be detectable. And without this, solving this problem is very difficult. The solutions of this problem can be whole with terrible behavior at infinity. How to deal with it? It turns out that after a compactification, everything is possible. I published these points in brief in 1999, and published these points with details in 2004.
In fact, all possible singular points of the solution to the problem turned out to be as bad as you can not want it. And it was necessary not only to choose good asymptotics from bad ones, but precisely those that add up to particular solutions.
Half the battle, or maybe a little less than half the battle, I did when I realized how to look for solutions with four integrals in six-dimensional space, that is, located on a two-dimensional surface. This approach is already published in Mathematische Nachrichten.
Five-integral solutions are curves in space that are defined by intersecting surfaces, each of which is not an integral at all. It was clear that finding them was more difficult.
Nevertheless, in this case, too, I found a way to find them and thereby completely complete the solution of the classical problem.
On the blog, I announced this on 10/20/2019.
I tried to publish the result on the topic of solutions with five integrals in Moscow, Novosibirsk and Kiev. In Moscow, a reviewer wrote that the topic is not interesting. In two other cities, it was not even possible to agree on publication.
О равномерной сходимости рядов Линдштедта в КАМ-теории.
Теорема о сохранении инвариантных торов, доказанная Колмогоровым, Арнольдом и Мозером (КАМ-теория) методом ускоренной сходимости Ньютона при всей её красоте является теоремой существования.
Для эффективного продолжения исследования необходимы прямые методы. Первое прямое доказательство в частном случае для гамильтониана специального вида было представленно Эльясоном, затем для других гамильтонианов – Галлавотти, Джентиле, Черчия, Фальколини.
Ввиду достаточно большой сложности доказательства этот подход пока не имеет продолжения.
Я нашёл существенно более простое доказательство, притом с приложением к задаче о движении тяжёлого твёрдого тела.
Попытался опубликовать результат в Москве, Новосибирске, Санкт-Петербурге и Киеве. В Москве рецензент написал, что тема не интересна.
В трёх других городах даже не удалось договориться о публикации.
On the uniform convergence of Lindstedt series in KAM theory.
The theorem on the conservation of invariant tori, proved by Kolmogorov, Arnold and Moser (KAM-theory) by the method of accelerated convergence of Newton for all its beauty is only an existence theorem. Direct methods are needed to effectively continue the study of this problem. The first direct proof in a partial case for a Hamiltonian of a special type was presented by Eliasson, then for other Hamiltonians – by Gallavotti, Gentile, Chierchia, Falcolini.
Taking into account rather great complexity of the proof, this approach has no continuation yet. I found a much simpler proof, moreover, I also found an application of it to the problem of the motion of a heavy rigid body. I tried to publish the result in Moscow, Novosibirsk, St. Petersburg and Kiev. In Moscow, a reviewer wrote that the topic is not interesting.
In three other cities, it was not even possible to agree on publication.
О новых частных случаях решения С.В. Ковалевской задачи о движении тяжёлого твёрдого тела.
Интегрируемый случай задачи о движении тяжёлого твёрдого тела является, как мне кажется наиболее интересным и нетривиальным. Не удивительно, что даже до сегодняшнего дня он находится среди актуальных задач теории гамильтоновых систем.
Так же не удивительно, что представляют интерес даже частные случаи решения задачи Ковалевской. Классическими являются случай Делоне и Бобылёва – Стеклова.
Новый случай я представил в статье “О представлении решений задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Ковалевской в ζ- и ℘-функциях Вейерштрасса и неинтегрируемости в квадратурах случая Гесса” как иллюстрацию своего метода поиска точных решений в задаче твёрдого тела.
Затем мне показалась интересной задача поиска полного списка особых решений задачи Ковалевской.
Эту задачу я решил, результат попытался опубликовать в Киеве, но пока безуспешно.
On new partial cases of the S.V. Kovalevskaya solution of the problem of the motion of a heavy rigid body.
The integrable case of the problem of the motion of a heavy rigid body is, in my opinion, the most interesting and nontrivial. It is not surprising that even to this day it is among the topical problems of the theory of Hamiltonian systems.
As well it is not surprising that even partial cases of solutions of the Kovalevskaya problem are of great interest. The Delaunay and Bobylev - Steklov partial cases are considered to be classical, for example.
I presented a new case in the article “On the representation of solutions to the problem of the motion of a heavy rigid body in the Kovalevskaya case in the ζ- and ℘-Weierstrass functions and non-integrability in quadratures of the Hess case” as an illustration of my method of finding exact solutions in the rigid body problem. Then I found it interesting to find a complete list of singular solutions to the Kovalevskaya problem. I solved this problem, tried to publish the result in Kiev, but unsuccessfully so far.
О решении задачи многомерного обобщения случая Лагранжа задачи о движении твёрдого тела
Первый результат по этой теме был опубликован в статье “О движении многомерного тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести”, в которой доказано существование полной интегрируемости задачи по Лиувиллю.
Затем в статье “Об асимптотике особых точек решений задачи о движении тяжелого n-мерного тела в случае Лагранжа” я доказал однозначность решений этой задачи и нашёл полный список целых решений.
Наконец, я получил полное решение в гиперэллиптических функциях, попытался опубликовать его в Киеве, но пока не смог.
Поскольку задача не является классической, чтобы подтвердить её актуальность привожу ссылки (mathnet.ru) на первую статью по данной теме.
On the solution of the problem of a multidimensional generalization of the Lagrange case of the problem of the motion of a rigid body.
The first result on this topic was published in the article “On the motion of a multidimensional body with a fixed point in the gravity field”, in which the existence of complete Liouville integrability is proved.
Then, in the article “On the asymptotics of singular points of solutions to the problem of the motion of a heavy n-dimensional body in the Lagrange case,” I proved the uniqueness of the solutions to this problem and found a complete list of entire solutions. Finally, I got the complete solution in hyperelliptic functions, tried to post it in Kiev, but I couldn't yet.
Since the task is not a classical one, to confirm its relevance, I give links (mathnet.ru) to the first article on this topic.
1. В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, “Динамические системы на орбитах линейных представлений групп Ли и полная интегрируемость некоторых гидродинамических систем”, Функц. анализ и его прил., 17:1 (1983), 31–39. V. V. Trofimov, A. T. Fomenko, “Dynamical systems on the orbits of linear representations of Lie groups and the complete integrability of certain hydrodynamical systems”, Funct. Anal. Appl., 17:1 (1983), 23–29.
2. В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, “Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли”, УМН, 39:2(236) (1984), 3–56 ; V. V. Trofimov, A. T. Fomenko, “Liouville integrability of Hamiltonian systems on Lie algebras”, Russian Math. Surveys, 39:2 (1984), 1–67.
3. Fomenko A.T., “Algebraic Properties of Some Integrable Hamiltonian-Systems”, 1060, 1984, 246–257.
4. А. В. Болсинов, “Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:1 (1991), 68–92; A. V. Bolsinov, “Compatible Poisson brackets on Lie algebras and completeness of families of functions in involution”, Math. USSR-Izv., 38:1 (1992), 69–90.
5. Božidar Jovanović, “Partial reductions of Hamiltonian flows and Hess–Appel'rot systems on SO(n)”, Nonlinearity, 20:2 (2007), 221.
6. М. В. Шамолин, “Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения”, Фундамент. и прикл. матем., 14:3 (2008), 3–237; M. V. Shamolin, “Dynamical systems with variable dissipation: Approaches, methods, and applications”, J. Math. Sci., 162:6 (2009), 741–908.
7. А. В. Беляев, “Об асимптотике особых точек решений задачи о движении тяжелого n-мерного тела в случае Лагранжа”, Матем. сб., 202:11 (2011), 55–74; A. V. Belyaev, “Asymptotic behaviour of singular points of solutions of the problem of heavy n-dimensional body motion in the Lagrange case”, Sb. Math., 202:11 (2011), 1617–1635.
8. Vladimir Dragović, Borislav Gajić, “Four-Dimensional Generalization of the Grioli Precession”, Regul. Chaotic Dyn., 19:6 (2014), 656–662.
9. М. В. Шамолин, “Случаи интегрируемости в динамике многомерного твёрдого тела в неконсервативном поле при наличии следящей силы”, Фундамент. и прикл. матем., 19:3 (2014), 187–222; M. V. Shamolin, “Integrable cases in the dynamics of a multi-dimensional rigid body in a nonconservative field in the presence of a tracking force”, J. Math. Sci., 214:6 (2016), 865–891.
10. М. В. Шамолин, “Интегрируемые системы с переменной диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере и приложения”, Фундамент. и прикл. матем., 20:4 (2015), 3–231; M. V. Shamolin, “Integrable variable dissipation systems on the tangent bundle of a multi-dimensional sphere and some applications”, J. Math. Sci., 230:2 (2018), 185–353.
11. Philip Arathoon, “Singular Reduction of the 2-Body Problem on the 3-Sphere and the 4-Dimensional Spinning Top”, Regul. Chaotic Dyn., 24:4 (2019), 370–391.
12. Борисов А.В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 296 стр.
Задача о движении трёх тел.
Базовые результаты опубликованы в статье:
Alexandr Belyaev, “On the entire and finite valued solutions of the three-body problem”, Theor. Appl. Mech., 43:2 (2016), 229–253.
Решена проблема существования инвариантных поверхностей, задаваемых полиномиальными интегралами.
При этом новым методом
доказана теорема Пуанкаре об отсутствии общих полиномиальных интегралов.
Результаты совсем недавние.
Даже не пытался публиковать.
The three-body problem.
Basic results are published in
the article:
Alexandr Belyaev, “On the entire and finite valued solutions of the three-body problem”, Theor. Appl. Mech., 43:2 (2016), 229–253.
The problem of the existence of invariant surfaces in the form of polynomial integrals is solved.
Moreover, the Poincaré theorem on
the absence of general polynomial integrals is proved by a new method.
These results are very recent. I
haven't even tried to publish them yet.
Новая таинственная проблема.
Представлю всем интересующимся математикой при условии публикации всего неопубликованного.
New mysterious challenge.
I will present it to all those who are interested in mathematics provided that everything unpublished will be published.
Non-quasi-homogeneous systems.
Qualitative analysis of non-quasi-homogeneous conservative Hamiltonian systems.
I will publish it when I am one of the recognized experts on Hamiltonian systems.
