Пока общество любителей гамильтоновых систем меня рецензирует.

Пока общество любителей гамильтоновых систем меня рецензирует и не решается ни признать, ни осудить, как нарушителя несомненно существующей, но ни разу не опубликованной Конвенции Прав Держателей Грантов и Обязанностей Соискателей Грантов,

я продолжаю трудиться на ниве прекрасных и удивительных гамильтоновых систем.

В возникшей вполне понятной, хотя и достаточно затянувшейся, как мне кажется, паузе мой Издатель, которому я выражаю самую искреннюю благодарность, изготовил первый экземпляр моей книги, о которой я уже не раз говорил. 

Этот вариант является не официальным, хотя от официального, который рецензируется, отличается незначительно. А именно, моими личными комментариями, отражающими моё видение окружающей меня действительности и самого себя (как бы со стороны).

В этом издании (см. содержание) я пока умалчиваю и о некоторых интересных событиях, и о некоторых интересных результатах. Интересных, разумеется, с моей личной точки зрения. А умалчиваю кое о чём, поскольку полагаю, что в неопределённой ситуации, а ситуация неопределённая, самые правильные действия – это осторожные действия.

По желанию Издателя книга изготовлена в стиле первого издания “Математических методов классической механики” В.И. Арнольда. Бумага – желтоватая, искусственно состарена, переплёт – из сохранившихся запасов на складе с советских времён.

Понимаю, что не все рискнут иметь такую книгу, но тем, кто всё же захочет, особенно тем, кого я благодарю, готов прислать экземпляр.

Тем, кого я в книге благодарю 

– с дарственными надписями, для остальных стоимость пока мне самому неизвестна. 

Адрес для таких заказов: alex.vlad.belyaev@gmail.com.

Пока всё. Заходите на блог. Надеюсь дальше будет интереснее.


home page

Математика. Её основа, архитектура и высший смысл.

Как я уже отмечал, наиболее близкий для меня взгляд на математику, как на составную часть мировоззрения, высказал И.Р. Шафаревич. Остальные точки зрения, с которыми я имел возможность или, лучше сказать, случай познакомиться, которые разделяет может большинство заинтересованных специалистов, может наиболее авторитетная их часть, мне представляются не интересными и не затрагивающими всей глубины проблемы.

Самое главное, в чём я согласен с И.Р. Шафаревичем, это необходимость признания участия Бога в построении математики.

Неверие в Бога среди математиков – сравнительно недавняя тенденция. Классики практически все – христиане, в основном католики и протестанты, но  вполне естественно, были и православные. 

Разумеется, вопрос не в том, кто какую веру исповедует, включая атеизм, а в том, нужна ли, словами П.С. Лапласа в математике гипотеза Бога. Впрочем, не могу не уточнить, что известная фраза "Сир, я не нуждался в этой гипотезе (Творца)" не точно выражала мысль Лапласа. Herve Faye писал в 1884 году следующее:

"На деле Лаплас никогда не говорил этого. Вот, как мне кажется, что произошло на самом деле. Ньютон, веривший, что вековые возмущения, которые он обозначил в своей теории, в итоге уничтожат Солнечную систему, где-то говорит, что Богу приходится вмешиваться время от времени, чтобы врачевать зло и как-то поддерживать работу системы. Это, однако, чистое предположение, внушённое Ньютону неполным обзором условий устойчивости нашего маленького мира. Наука в то время была ещё недостаточно развита, чтобы полностью обозревать эти условия. Но Лаплас, нашедший их путём глубокого анализа, ответил Первому консулу, что Ньютон напрасно привлёк Божественное вмешательство, чтобы время от времени настраивать машину мира (la machine du monde), и что он, Лаплас, не нуждался в таком допущении. Следовательно, не Бога Лаплас считал гипотезой, а его вмешательство в определённом месте.

Г-н Араго ручался мне, что Лаплас, которого незадолго до смерти предупредили, что эту историю собираются опубликовать в биографическом собрании, попросил его потребовать от издателя удалить её. Было необходимо или объяснить, или убрать её, а второй путь был самым простым. Но, к сожалению, её не убрали и не объяснили".

Итак, говоря о присутствии Бога в математике, разумеется, нет необходимости верить в Боговдохновенность аксиом, особенно после переворота в сознании математиков, совершённого Н.И. Лобачевским.

Но вот почему-то верится с трудом, что просто так само собой случилось, что до сих пор в математике отсутствует хотя бы одно противоречие, при том, что математика постоянно использует, казалось бы, изрядно рискуя, и закон исключённого третьего, и актуальную бесконечность. При том, что математика пишется на самых различных неформальных языках. 

И, наоборот, попытка создать единый общечеловеческий формальный математический язык явно не принесла ожидаемых плодов. Точно так же как и попытки забраться в Святая Святых Математики в поисках доказательства Её непротиворечивости и получения полной системы аксиом.

Лично я верю, и основания такой веры, как видим, имеются, что задачу обеспечения истинности Математики Бог берёт на Себя, оставляя нам решение конкретных, ясно и понятно формулируемых проблем.

Архитектура математики –  тоже проблема Бога. Мы можем лишь с восхищением наблюдать как громоздкие устаревшие конструкции заменяются новыми великолепными и как возникают висящие в воздухе этажи, соединяющие казалось бы далеко отстоящие друг от друга корпуса. 

Совершенно не согласен с утверждением, что Математика утонет в море статей огромного количества журналов. Да кто все их читает? А кто прочтёт завтра? Разве не ясно, что огромное их количество пишется не ради Настоящей Математики, которая прекрасна в своей неожиданной для самих создателей красоте, которую зиждущие и видят, и достаточно просто отделяют от вполне понятно присутствующего мусора на строительной площадке.

Поэтому не нужно чересчур переживать о том, по какому плану идёт строительство зданий Математики. Надеюсь, я ясно высказался, чья  это забота.

В таком случае и высший смысл Математики становится ясен. Если в религии мы узнаём Бога как Того, образом Кого являемся, то в Математике мы восхищаемся Им как Создателем великолепного материального мира с Его выше всякой Красоты и Гармонии Законами.

Но есть ешё одна очень важная задача у Бога. Мы легко соглашаемся, что языческие Музы помогают творить произведения искусства и не считаем упоминание их исключительно выдумкой поэтов, писателей и художников. Впрочем, был бы я из их компании, я предпочёл бы обращаться к Другому Помощнику, но я математик, поэтому оставлю поэтам самим объяснять источники своего вдохновения.

Лично для меня понятна и очень жизненна притча о талантах, которые Господин раздаёт своим рабам, требуя, чтобы таланты не были растрачены всуе. Я вполне отдаю отчёт талантам, которые получил и меру ответственности за их употребление. За то и награду имею уже сейчас. Не скрою, самую большую радость я испытываю, когда решаю проблему, особенно если коротко и ясно, а значит, красиво. Публикация результата – это уже больше хлопоты, чем моральное удовлетворение. А отсутствие возможности публикации вызывает во мне лишь сожаление о несовершенстве глобального редакционного математического Чёрного Ящика, который весьма часто выдает далеко не лучшее, что в него попадает. Кроме того, это вынужденная возможность отдыха от околоматематической суеты. 

Начиная свою математическую тему в теории гамильтоновых систем я, конечно, понимал высокую цену основных идей, но всё равно я не ожидал получить настолько большую прибыль, о которой я даже и не мечтал. И приписать только себе все идеи, которые я высказал и осуществил, я не дерзаю. Не знаю, если я скажу, что самые замечательные идеи мне подсказал Бог, то это скромность или хвастовство. С одной стороны –  я просто исполнитель идеи, но с другой –  лично мне Сам Бог подсказал. Впрочем, в этом я полностью не уверен. Просто однажды я просыпаюсь и в моей голове – сложившееся ясное понимание как решать задачу, над которой я долго безуспешно думал.

Спускаясь с мировоззренческих небес в конкретную математику, сообщаю много раз мною повторенное признание, что не считаю себя энциклопедически образованным, а даже и наоборот. Поэтому основываю свои дальнейшие выводы на том убеждении, что если Математика прекрасна в той части, в которой я себя чувствую как дома, то она не менее прекрасна и там, где ни разу я не был.

О том может ли Математика справиться с потоком математических работ. 

До сих пор легко справлялась. И Ей не надо всё архивировать и создавать свой математический google.  В самом деле, красота евклидовой математики сегодня – это красота наивного ребёнка. Мы его любим, радуемся его первым шагам, но результаты его творчества храним только как приятное воспоминание. А когда сами решаем проблемы, то, разумеется, вместо наивных 25 аксиом планиметрии и, тем более, нескладных аксиом стереометрии, используем 8 аксиом линейного пространства и определение скалярного произведения. 

Далее всё так же просто и убедительно. То, что античная и средневековая математика решает в целых трактатах, дифференциальное и интегральное исчисление может решить в одну строчку. Когда-то очень достойно смотрелась теоретическая механика, начатая гениальным Ньютоном, продолженная великолепными Эйлером, Лагранжем и ещё целым созвездием математиков, включая неповторимую Ковалевскую и фундаментального Пуанкаре. И можно долго всех перечислять и ещё дольше изучать их работы. Но вот появляются "Математические методы классической механики" В.И. Арнольда и уже классикой становится именно этот труд, а всё, что до него – только для любителей истории математики. 

Ясно, что и "Современная алгебра" Ван дер Вардена, и "Современная геометрия" Б.А. Дубровина, С.П. Новикова, А.Т. Фоменко написаны именно по той же самой причине, о которой я говорю. А если возникнет необходимость, то кто-то когда-то снова напишет книгу, которая будет включаться в серию "Современная математика."

К слову, замечу, что далеко не каждая книга, обозревающая современную математику оказывается востребованной. Она должна быть понятной, о главном и, простите сленг, "без лишних понтов".

Ещё пара слов о тех, кто создаёт Математику. Как и при добыче драгоценных ископаемых ценность добычи не может не накладывать отпечатка на взаимоотношения добытчиков. Математики ведь не ангелы, спустившиеся с небес, для безукоризненного исполнения Божественной задачи. Они из плоти и крови, им надо кормить свои семьи, занимать должности, учить учеников и они хотят при этом не лишить себя маленьких радостей: денег, почёта, славы, чести авторства великих и не очень великих задач. Так было всегда и нет причин думать, что так не будет в будущем. Но при этом заметим, что интерес к личной жизни математика всегда вторичен. Как, впрочем, писателей, поэтов, художников. Всех, кто получив Дар творчества создают свою часть Вселенной.

После всего сказанного стоит ли опасаться, что Математика утратит своё значение из-за кажущихся непреодолимыми вызовов современности. Скажем, некоторых пугают возможности компьютеров. Лично меня не пугают. Всё будет хорошо.

home page

И.Р. Шафаревич: "О некоторых тенденциях развития математики"

В лекции, прочитанной 30 лет назад, выдающийся русский математик и общественный деятель Игорь Ростиславович Шафаревич предлагает свою версию возможного смысла математической деятельности человечества. Основной текст печатается по изданию И. Р. Шафаревич, Путь из-под глыб, М.: "Современник", 1991. В настоящем издании добавлено примечание автора, отражающее его современное отношение к вопросу.

 Взято с сайта http://www.mathnet.ru/links/d1dd817bab4c636f9692b185ee7761a1/mo562.pdf

Прежде, чем полностью процитировать выступление И.Р. Шафаревича, добавлю своё предисловие. 

В моей научной работе возникла вполне понятная пауза. Я попросил некоторых замечательных специалистов в теории гамильтоновых систем просмотреть свою книгу, которую уже анонсировал на блоге. 

Предварительные отзывы я уже получил, за которые весьма признателен, но ещё ожидаю тех, после которых публикация станет возможной. Полагаю, что мою книгу обсуждают не только те математики, к которым я обратился, но и те, к которым обратились те, к которым обратился я. Возможно, именно поэтому количество просмотров уже перевалило за 7500, хотя раньше интерес к моему блогу был заметно меньше.

Ну, и в такой напряжённой обстановке над новыми задачами думается как-то без огонька. Зато приходят мысли о смысле жизни, о математике как о духовном явлении. В общем, о великом. 

Конечно, пытаясь говорить о великих вещах, надо быть скромным, поэтому сразу напоминаю о себе, что я по сравнению с математиками, с которыми имел счастье быть знакомым, знаю очень мало по причине врождённой лени, недостатка энергичности и большей любви к отдыху, чем к напряжённой работе. Конечно, были в моей жизни и моменты, когда с некоторой натяжкой, но можно было сказать, что я трудился, не замечая времени. Но таких моментов было и немного, и были они не долгими. И объяснялись они просто-таки жгучим интересом к проблеме и неописуемым предощущением финишной ленточки.

Зато я всегда старался каждый свой результат многократно осмысливать и переосмысливать, имея любовь к философии. Кстати, моё ортодоксальное православие явилось, в первую очередь, результатом именно этой склонности, а не жёсткого столкновения с Божественной рельностью, как для многих верующих. 

Поэтому лучшей точки отсчёта для обсуждения этой стороны математики, чем статья И.Р. Шафаревича, для меня не оказалось. Она настолько важна и приципиальна, что я предпочитаю привести её на блоге полностью. В следующий раз я напишу свою точку зрения, где-то полемизируя, где-то соглашаясь с Игорем Ростиславовичем. А пока слово И.Р. Шафаревичу.

Примечание к публикации 2003 года. Этот текст был опубликован 30 лет назад. После того я несколько раз сталкивался с возражениями некоторых моих коллег, ставивших под сомнение осмысленность самого вопроса, который здесь обсуждается. Мне говорили, что понятие "смысла" или "цели" так же неприменимо к математике, как, например, к человеческой истории или даже органической жизни, которая течет не "куда-то", а просто потому, что некогда возникла. Неожиданным образом поддержку своей веры в осмысленность вопросов подобного типа я получил от композитора — Шостаковича. В опубликованных после его смерти "Воспоминаниях" (или "Свидетельствах") говорится: "Смысл в музыке — это для многих звучит непривычно... Но несмотря на их наивность и даже грубость, эти вопросы, несомненно, имеют право на существование". Да и от ряда своих коллег-математиков я получил письма, показывавшие, что постановка таких вопросов чему-то в их душах созвучна. Достоевский писал об этом вопросе, что он "не в его размерах". Точно так же и все упомянутые вопросы "не в человеческих размерах" — сомнительно, чтобы кто-то был способен предложить ответ на один из них. Но мне кажется, что нам полезно о них не забывать, и время от времени примерять их к нашей конкретной ситуации.

Всякое существо склонно воспринимать среду своего обитания как нечто безусловное, что и не может быть другим и что поэтому не порождает никаких вопросов. Так относится и математик к своей науке, — и только изредка, когда представляется повод взглянуть на нее со стороны, он вдруг замечает, с каким странным, в сущности неправдоподобным явлением имел дело всю жизнь. Для меня таким поводом было лестное предложение сказать здесь несколько слов о математике моим коллегам, работающим в далеких от нее областях науки.

При поверхностном наблюдении математика представляется плодом трудов многих тысяч мало связанных индивидуальностей, разбросанных по континентам, векам и тысячелетиям. Но внутренняя логика ее развития гораздо больше напоминает работу одного интеллекта, непрерывно и систематически развивающего свою мысль, лишь использующего как средство многообразие человеческих личностей. Как бы в оркестре, исполняющем кем-то написанную симфонию, тема переходит от одного инструмента к другому, и когда один исполнитель вынужден прервать свою партию, ее точно как по нотам, продолжает другой.

Поверьте, это не риторическая фигура! История математики знает очень много примеров того, что открытие, сделанное одним ученым, остается неизвестным, а позже с поразительной точностью воспроизводится другим. В письме, написанном ночью перед дуэлью, окончившейся его гибелью, Галуа высказал несколько утверждений исключительной важности об интегралах алгебраических функций. Более чем двадцать лет спустя Риман, который, безусловно, не знал о письме Галуа, вновь нашел и доказал в точности те же утверждения. Или: после того как Лобачевский и Болиаи независимо друг от друга положили начало неевклидовой геометрии, выяснилось, что два человека — Гаусс и Швейкарт более чем за 10 лет до этого тоже независимо друг от друга пришли к тем же результатам. Странное чувство испытываешь, видя одни и те же чертежи, как будто начерченные одной рукой в трудах четырех ученых, работавших совершенно независимо друг от друга.

Невольно приходишь к мысли, что такая поразительная, загадочная деятельность человечества, длящаяся несколько тысячелетий, не может быть случайной, должна иметь какую-то цель. А признав это, мы с необходимостью приходим к вопросу: в чем состоит эта цель?

Как может целая наука — не один только ее раздел и не в один лишь период ее развития — иметь единую цель? Попробуем усмотреть это на примере физики, которая всегда была так тесно связана с математикой. Ко времени Ньютона перед физикой вырисовалась захватывающая цель: построить теорию (или, как тогда говорили, систему) мира, то есть заключить всю вселенную в несколько простых законов, из которых многообразие физического мира может быть выведено чисто логически. Долгое время казалось, что Ньютон эту задачу в принципе решил, а на долю его последователей осталась лишь проверка того, что все известные явления описываются его системой. Только на периферии физики теория электричества не хотела укладываться в эту схему. Но в XIX в. именно явления электромагнетизма стали центром физики, и хотя этим была поколеблена ньютонианская концепция, зато возникла надежда, что ньютоновская механика, дополненная максвелловской теорией электромагнитного поля, позволит создать полную и окончательную систему мира. Однако и этим ожиданиям не было суждено сбыться, — квантовая механика и теория относительности вскоре разбили все старые концепции. Одно время физиков подогревало стремление извлечь из единой теории поля или из релятивистской квантовой механики полную теорию элементарных частиц и новую систему мира. Этого до сих пор не произошло, и вряд ли многие физики сейчас считают такие надежды реальными. Во всяком случае, если некоторое единство в физической картине мира когда-нибудь и восстановится, трудно будет после стольких перестроек верить в окончательность этой системы.

Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что та глобальная цель, которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела. Как же это отражается на ее развитии? Математика растет стремительно и непрерывно, не зная типичных для физики перестроек и кризисов, обогащая нас все новыми идеями и конкретными фактами. Я глубоко убежден, что достижения современной математики не менее совершенны, чем творения классиков XIX, XVIII и XVII вв., что они могут даже выдержать сравнение с плодами эллинского гения. Но ведь и прекраснейшие из современных достижений ни в чем принципиально не превосходят классические! Какова же ценность неограниченного накопления идей, в принципе одинаково глубоких? Не превращается ли математика в поразительно красивый вариант "дурной бесконечности" Гегеля?

Любая деятельность, лишенная цели, тем самым теряет и смысл. И если сравнить человечество с живым организмом, то математика окажется непохожей на осмысленную, целенаправленную деятельность. Скорее она аналогична инстинктивным действиям, которые могут стереотипно повторяться, пока работает некий внешний или внутренний возбудитель.

Не имея цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям. Используя другое сравнение, можно сказать, что развитие математики не похоже на рост живого организма, который сохраняет свою форму, сам определяя свои границы. Оно больше напоминает рост кристалла или диффузию газа, которые будут распространяться неограниченно, пока не встретятся с внешним препятствием.

Очевидно, что такое развитие науки противоречит ощущению осмысленности и красоты, которое непреодолимо возникает при соприкосновении с математикой, — подобно тому, как невозможна бесконечно продолжающаяся прекрасная симфония.

Но только ли в нашей науке встает эта проблема? Я не думаю, что математика радикально отличается от других форм культурной деятельности. Однако ее объекты более абстрактны, в ней происходит отвлечение от большего числа случайных свойств. Как говорил Платон, в ней больше от познания чистого бытия и меньше — от мнений о предметах видимого мира, в ней "как бы грезят о сущем". Поэтому в математике ясно различимы закономерности, хотя и универсальные, но лишь смутно видимые в других областях. В частности, то отсутствие целей и формы, о котором мы говорили выше, относится, как мне кажется, почти ко всей жизни современного человечества. Так, наряду с математикой, развивающейся без цели, мы видели пример физики, в погоне за непосильной, видимо, ей целью теряющей представление о какой-либо цели вообще.

Бесформенная, лишенная иной цели и смысла, кроме неограниченного расширения, лихорадочная деятельность уже несколько веков как захватила человечество. Она получила название "прогресса" и на некоторое время стала чем-то вроде суррогата религии. Ее последним порождением является современное индустриальное общество. Уже много раз указывалось на то, что эта гонка содержит в себе внутреннее противоречие, приводит к катастрофическим материальным последствиям: все возрастающему, непосильному для человека темпу изменений жизни, перенаселенности, уничтожению окружающей среды. На примере математики я хочу обратить внимание на не менее разрушительные духовные последствия: человеческая деятельность лишается глобальной цели, становится бессмысленной.

Опасность здесь не только отрицательная, она заключается не только в том, что напряженные усилия человечества, жизнь его наиболее талантливых представителей не освещаются пониманием их смысла. Она не исчерпывается и тем, что, не понимая цели своих действий, мы не можем предвидеть и их результатов. Духовная конституция человечества не позволяет ему долго мириться с деятельностью, цель и смысл которой ему не даны. И здесь, как и во многих других явлениях, вступает в силу механизм замещения — не найдя того, что им необходимо, люди не успокаиваются на этом, но прибегают к суррогатам. Пример этого нам всем хорошо известен — порвав связь с Богом милосердия и любви, люди тотчас создали себе других богов, требующих миллионов человеческих жертв. Согласно тому же закону, когда культурная деятельность человечества лишена ясного понимания своих целей, она пытается заимствовать себе осмысление из других источников. В частности, математик ищет смысл своей работы в выполнении заказа государства, которому он готов рассчитать траекторию ракеты или подслушивающий аппарат, а если это ученый крупного масштаба, — то спланировать и целое общество, состоящее из гибридов людей и компьютеров. Такая установка уродует не одни только души ученых, — появляются области математики, лишенные той божественной красоты, которая зачаровывает всех, знакомых с нашей наукой.

Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика, по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать ее извне. Разумеется, я далек от того, чтобы пытаться указать решение этой глубокой, не только внутриматематической, но и общечеловеческой проблемы. Я хочу лишь указать на основные направления, в которых возможен поиск решения.

По-видимому, таких направлений есть два. Во-первых, можно пытаться извлечь цель математики из ее практических приложений. Но трудно поверить, что более высокая — духовная деятельность найдет свое оправдание в более низкой — материальной. В открытом в 1945 г. "Евангелии от Фомы" Иисус иронически говорит:

"Если плоть произошла ради духа, это — чудо. Если же дух ради тела, это — чудо из чудес".

Вся история математики — убедительное доказательство того, что "чудо из чудес" невозможно. Если мы посмотрим на решающий в развитии математики момент, когда она сделала свой первый и самый значительный для человечества шаг и возникла та основа, на которой она зиждется — логическое доказательство, то увидим, что произошло это на материале, который просто исключал возможность практических приложений. Первые теоремы Фалеса Милетского устанавливали истины, очевидные для каждого здравомыслящего человека — вроде того, что диаметр делит круг на две равные части. Гениальность нужна была не для того, чтобы увериться в справедливости этих положений, а для того, чтобы понять, что они нуждаются в доказательстве. Очевидно, что практическая ценность таких открытий — нулевая.

И в наше время, как ни разнообразны и глубоки приложения математики, отнюдь не под их влиянием возникли ее самые прекрасные достижения. Как же можно тогда ожидать, что приложения математики дадут ей эту цель, которую она не смогла найти своими внутренними силами?

Если мы, таким образом, отбросим этот путь, то останется, как мне кажется, только одна возможность: цель математике может дать не низшая сравнительно с ней, а высшая сфера человеческой деятельности — религия.

Конечно, сейчас очень трудно представить себе, как это может произойти. Но еще труднее вообразить, как математика сможет вечно развиваться, не зная, ни что, ни зачем она изучает. Да уже в следующем поколении она погибнет, захлестнутая потопом публикаций. А ведь это еще самая элементарная, внешняя причина.

С другой стороны, в принципе такое решение возможно — это доказано историей. Обратившись опять к той эпохе, когда математика только возникла, мы увидим, что тогда она знала свою цель и получила ее именно на этом пути. Математика сложилась как наука в VI в. до Р.Х. в религиозном союзе пифагорейцев и была частью их религии. Она имела ясную цель — это был путь слияния с божеством через постижение гармонии мира, выраженной в гармонии чисел. Именно эта высокая цель дала тогда силы, необходимые для научного подвига, которому принципиально не может быть равного: не открытия прекрасной теоремы, не создания нового раздела математики, но создания самой математики.

Тогда, почти в самый момент ее рождения, уже обнаружились те свойства математики, благодаря которым в ней яснее, чем где-либо, проявляются общечеловеческие тенденции. Именно поэтому тогда математика послужила моделью, на которой были выработаны основные принципы дедуктивной науки.

Кончая, я хочу выразить надежду, что по той же причине она теперь может послужить моделью для решения основной проблемы нашей эпохи:

обрести высшую религиозную цель и смысл культурной деятельности человечества.

Впервые опубликовано в журнале "Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften in Gottingen", Gottingen, 1973.


home page