Об исследовании аналитических свойств решений гамильтоновых
систем.
Основные результаты.
Прошло два года с момента написания эпилога истории моей защиты докторской диссертации. Весьма удивительно и приятно, что мой блог с этой историей достаточно часто посещался, если, конечно, статистика Google не ошибается. При этом отдельные документы блога стали самостоятельными информационными единицами интернет-пространства. В первую очередь это мои комментарии на отзывы Брюно и Гашененко, а также видеозапись защиты. Чтобы в этом убедиться, достаточно набрать «отзыв Брюно», «отзыв Гашененко» или «защита Беляева».
Такое положение дел в известной степени обязывает меня дополнить историю защиты содержательной частью. Полагаю, что посетителям блога интересен не только факт провала диссертации, но и сама причина, из-за которой диссертация была провалена. Ясное дело, настоящую причину организаторы защиты уже не скажут, коль скоро они не сделали этого во время защиты, однако, думаю, мои пояснения по сути диссертации отчасти удовлетворят имеющийся интерес к моему блогу.
Итак, тема диссертации: «Аналитические свойства решений гамильтоновых систем» и в ней рассматриваются две классические задачи: о движении тяжелого твердого тела и о движении трех тел и одна вполне современная задача о многомерном аналоге случая Лагранжа, которая является обобщением первой из этих двух задач.
Задачи выбраны из соображений их широкой известности. Для первых двух задач этот факт не нуждается в доказательстве. Что касается последней, то об этом свидетельствуют статьи:
1. Adler M., van Moerbeke P. Completely Integrable Systems, Euclidean Lie Algebras, and Curves // Advances in mathematics. - 38. - 1980. - P.267–317. (см. стр. 308)
(см. стр. 316)
2. А.В. Беляев О движении многомерного тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести // Матем. сб., 114(156). - №3. – 1981. - С. 465–470.
(см. стр. 465)
3. А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений. Функц. анализ и его прилож. Т.22.- вып. 2.- с.87-88, 1988.
и монографии:
4. А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы. Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003.
5. А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Современные методы теории интегрируемых систем. Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003.
(см. стр. 5)
Об этом же свидетельствуют и ссылки на мою статью [2] в уже упомянутой работе [5], а также в работах
6. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Динамические системы на орбитах линейных представлений групп Ли и полная интегрируемость некоторых гидродинамических систем // Функц. анализ и его прил. – Т.17. - №1. – 1983. – С.31–39.
7. Болсинов А. В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции // Изв. АН СССР. Сер. матем. – Т.55. - №1. – 1991. –С. 68–92.
8. Suris Yu.B. Integrable Discretizations of Some Cases of the Rigid Body Dynamics // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. – V. 8. - № 4. -2001. – P. 534–559.
9. Fedorov Yu. N., Jovanovič B. Quasi-Chaplygin Systems and Nonholonimic Rigid Body Dynamics // Letters in Mathematical Physics. - №76. – 2006. – P. 215–230.
10. Jovanovič B. Partial reductions of Hamiltonian flows and Hess Appel'rot systems on SO(n) // Nonlinearity, V. 20. - №2. – 2007. – P. 221-240.
11. Шамолин М. В. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения // Фундамент. и прикл. матем. – Т.14. - №3. – 2008. - С.3–237.
Итак, задачи для рассмотрения взяты известные, притом первой задаче более 250 лет, а второй – более 325 лет. Последняя задача – напротив, имеет недолгую историю, зато находится в рамках весьма актуальной проблематики интегрирования гамильтоновых систем.
Для первых двух задач общего решения не найдено, но найдены частные решения и доказано что при некоторых условиях обе задачи не имеют однозначных аналитических первых интегралов.
В диссертации с помощью предложенного мною метода для задачи о движении твердого тела найдены полные списки целых и однозначных решений, подчиненных специальным условиям, а вслед за этими результатами уже вне диссертации я ищу конечнозначные решения этой же задачи. Кроме того, имеются все основания полагать, что предлагаемый для такого поиска метод дает принципиальную возможность найти полный список и целых, и однозначных, и конечнозначных решений без всяких дополнительных ограничений.
Если к этому добавить, что все найденные до сегодняшнего дня решения этой задачи (кроме таковых в случае Гесса) являются либо целыми, либо однозначными, либо конечнозначными, то вполне естественно только такие решения и искать, поскольку именно такие решения оказываются относительно простыми для рассмотрения, использования и интересными с точки зрения дальнейшего изучения.
Что касается выбивающегося из общего ряда случаев интегрируемости, случая Гесса, то применение моего метода там позволяет получить полную интегрируемость в терминах нахождения аналитических свойств искомого решения, однозначно его задающих, что является качественно новым результатом в данной области. В диссертации об этом сказано, как о возможном способе решения не решаемой классическими средствами задачи. Моя статья с подробным изложением этого результата «Об общем решении задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Гесса» находится в печати в журнале «Математический сборник» РАН.
Таким образом, вместо решения дифференциального уравнения в квадратурах мы получаем представление решения, в котором мы знаем координаты всех особых точек решения и его асимптотики в окрестностях особых точек, считая это представление окончательным решением задачи. Такое представление решения однозначно задаёт определённый класс функций, которые можно подставлять в исходное дифференциальное уравнение, получая верное равенство, а также находить их сумму, произведение, производную и первообразную. Вообще говоря, можно найти функцию от решения, которая делает все асимптотики тривиальными и это будет означать, что найден первый интеграл. При этом может оказаться, что так описанное решение не представимо в квадратурах, но, коль скоро, класс функций хорошо описан, то фраза «данное дифференциальное уравнение решается в таких-то функциях» как раз и будет означать, что дифференциальное уравнение решено.
Замечу также, что с точки зрения удобства выполнения арифметических операций, операций дифференцирования и интегрирования, описанный выше способ представления может оказаться гораздо более удобным, чем выражение в квадратурах. Например, удобнее, чем вот такое выражение (цитата из диссертации, формула из статьи А.Г. Реймана, М.А. Семенова-Тян-Шанского Affine Lie Algebras and Lax Equations II. Inventiones mathematicae.-63.-1981.p.423-432)
Исследование
аналитических свойств решений задачи трех тел показывает, что целых решений в
этой задаче нет вообще, но, при этом, для почти всех решений координатные
функции тел в зависимости от времени имеют особенности только вида кваддратного
корня из t, что дает основание предполагать существование решений с конечным
числом особенностей, а значит заданных как однозначные функции на римановой поверхности
с конечным числом ручек, то есть представляющих собой частный интегрируемый
случай, отличный от уже известных.
Для многомерного обобщения случая Лагранжа я доказываю, что все решения в этом случае однозначны. Кроме того, нахожу явный вид всех целых решений.
Наконец, в контексте проблем КАМ-теории, я нахожу явный вид рядов Линштедта, а также показываю, что при достаточно естественных предположениях разваливающийся инвариантный тор задается функциями Левитана.
В этих результатах просматривается все та же идея: для описания неинтегрируемых задач использовать информацию о функциях, задающих решения, если геометрическое описание становится либо невозможным, либо очень сложным. В самом деле, несмотря на наличие значительного массива колмогоровских торов возмущенной гамильтоновой системы интегралы, задающие их, до сих пор неизвестны, но можно исследовать аналитические свойства решений задающих торы, поскольку для таких решений имеется явное представление в виде степенных рядов по малому параметру возмущения и асимптотика сохранившихся особых точек.
В этом заключаются основные результаты моих исследований аналитических свойств решений гамильтоновых систем.
Основные идеи.
Для получения всех результатов диссертации используются две принципиальные идеи:
1. Исследование аналитических свойств решений рассматриваемой задачи.
2. Исследование слоения, получаемого факторизацией фазового пространства по действию квазиоднородного растяжения, оставляющего траектории потока инвариантными.
Первая идея по своей сути есть идея Ковалевской (1888), которую она использовала при нахождении неизвестного до нее интегрируемого случая задачи о движении тяжелого твердого тела.
Однако, если от сути перейти к точным формулировкам, то идея Ковалевской принимает вид нахождения условий на параметры задачи о движении тяжелого твердого тела, при которых все решения однозначны в комплексной области времени, и эта проблема существенно проще проблемы нахождения полного набора асимптотик в окрестности особых точек всех решений задачи о движении тяжелого твердого тела, а именно в таком виде я сформулировал цель исследования в 1988 году и получил первые результаты в указанном направлении.
Необходимо отметить, что развить идею Ковалевской попытался Аппельрот (1892), который ослабил требование однозначности всех решений до требования однозначности в окрестности некоторых особых точек решения. Это условие привело его к переоткрытию случая Гесса (1890), однако проинтегрировать этот случай не удалось, поскольку, как показал позднее Некрасов (1896), искомые решения кроме локально однозначных особых точек имели также и локально бесконечнозначные особые точки.
Ввиду указанных обстоятельств идея Ковалевской была оставлена и дальнейший поиск решений задачи твердого тела стал осуществляться по пути подбора подходящего вида решения с неизвестными параметрами и нахождением этих параметров методом неопределенных коэффициентов. Этот поиск требовал особого рода искусства от исследователей и, к сожалению, не давал гарантии того, что рано или поздно все интегрируемые случаи будут найдены.
Впрочем, изучение поведения решений задачи твердого тела в комплексной области удалось использовать в какой-то степени для решения задачи, противоположной поиску новых решений. Именно, ветвление решений в окрестности особых точек дало возможность Козлову (1978) и Зиглину (1983) доказать отсутствие однозначных интегралов. Однако, эти результаты не имели такой общности, чтобы получить условия, при которых ветвления нет, что давало бы возможность поиска новых решений или даже их полной классификации.
После всего сказанного становится понятно, при наличии полного списка асимптотик всех особых точек задачи о движении твердого тела возможность классификации решений этой задачи приобретает реальные очертания.
Вторая сформулированная идея диссертации как раз и позволяет описать все особые точки решений.
В самом деле, задача о движении тяжелого твердого тела является квазиоднородной, как, впрочем и задача о движении трех (n) тел и задача, обобщающая случай Лагранжа. Склеивая траектории, получающиеся друг из друга растяжением, мы вместо некомпактного фазового пространства с потоком траекторий, получаем компактное слоение с особыми точками, вообще говоря, соответствующим особым точкам решений исходной задачи.
Остается точно установить характер этого соответствия и все особые точки на компактном многообразии в нашем распоряжении!
В заключение добавим, что самыми «плохими» должны априори быть целые решения, так как для них нет такого представления, которое можно было бы эффективно подставить в дифференциальные уравнения Эйлера – Пуассона. С другой стороны кажется очень проблематичной возможность того, что очень «плохое» в бесконечности решение задает слоение на компактном многообразии.
В самом деле, сама возможность компактификации траекторий задачи весьма сильно ограничивает класс возможных ее решений.
Это позволяет найти все целые решения, а для оставшихся не целых получить полный список возможных особых точек.
Подводя итог сказанному, хочу заметить, что применение метода исследования гамильтоновых систем, изложенного в диссертации, практически гарантирует получение новых результатов для большого класса задач.
Последние статьи:
1. Об асимптотике особых точек решений задачи о движении n-мерного тела в случае Лагранжа // Математический сборник, т.202, №11, 2011, с.55-74.
2. Analytical properties of solutions of the tree body problem // Carpathian Mathematical Publications, V.3, №2, 2011, 18-35.
3. On the full list of finite-valued solutions of the Euler-Poisson equations having four first integrals // Mathematische Nachrichten, Volume 285, Issue 10, pages 1199–1229, July 2012 Article first published online: 24 MAY 2012 DOI: 10.1002/mana.201100136
4. Об общем решении задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Гесса // Математический сборник (в печати).
P.S. Целые решения задачи трёх тел существуют. Их классификация в статье Alexandr Belyaev, “On the entire and finite valued solutions of the three-body problem”, Theor. Appl. Mech., 43:2 (2016), 229–253.
Исправлять заметку не стал, чтобы не вносить путаницу в историю.
home page
