ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Так случилось, что в Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова я поступил, когда аббревиатуру КдФ (KdV) можно было видеть в десятках статей математиков всего мира. После статьи Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097, эта тема стала топовой.

Из задачи математической физики довольно скоро она стала задачей теории гамильтоновых систем: В. Е. Захаров, Л. Д. Фаддеев, “Уравнение Кортевега–де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система”, Функц. анализ и его прил., 5:4 (1971), 18–27, Clifford S. Gardner. Korteweg‐de Vries Equation and Generalizations. IV. The Korteweg‐de Vries Equation as a Hamiltonian System, Journal of Mathematical Physics 12, 1548-1551, (1971).

Дальше, в 1974, когда я был на втором курсе, появились статьи: Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, “Периодическая задача для уравнений Кортевега–де Фриза и Штурма–Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией”, ДАН СССР, 219:3 (1974), 531–534, Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, “Периодические и условно периодические аналогии многосолитонных решений уравнения Кортевега–де Фриза”, ЖЭТФ, 67:12 (1974), 2131–2144, С. П. Новиков, “Периодическая задача для уравнения Кортевега–де Фриза. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 54–66.

А после статьи Мищенко А.С., Фоменко А.Т., “Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли”, Доклады АН СССР, 231:3 (1976), 536–538, даже мне, студенту третьего курса, стало очевидно, что уйти в сторону от темы, захватившей массу первоклассных математиков и моего научного руководителя, А.Т. Фоменко в том числе, не достойно, но хоть что-то заметное добавить от себя практически безнадёжно.

Можно считать чудом, что тема, предложенная мне шефом, оказалась и в тренде, и решаемой. Впрочем, об этом я пишу не чтобы похвалиться, а, чтобы пояснить, почему теория гамильтоновых систем стала моей математической судьбой.

Об этом пишу книгу. В книге будет и введение в теорию гамильтоновых систем, и мои собственные опубликованные результаты.

«Теория гамильтоновых систем и приложения».


Глава 1. Гамильтоновы системы (скачать).

Насколько я понимаю ситуацию в современной математике, её мотором являются задачи из нелинейных дифференциальных уравнений. Но при этом средства для решения выбираемых задач могут быть из самых разных областей математики и становятся всё более сложными.

Впрочем, если оглянуться назад, то можно видеть, как со временем сложное превращается в лёгкое, благодаря новым доказательствам, новым методам, новым понятиям. Примеров на эту тему множество и, думаю, что вряд ли найдутся желающие это оспаривать.

Не скажу, что серьёзная математика – это приятно, легко и интересно, если даже всё рассказывать наилучшим образом. Но к этому я намерен стремиться.

 Глава 2. Точные решения задачи о движении тяжёлого твёрдого тела (скачать)

Со времени нахождения первого интегрируемого случая найдено тринадцать общих и частных решений классической задачи о движении тяжёлого твёрдого. Авторы этих решений: Эйлер (1758), Лагранж (1773), Ковалевская (1866), Гесс (1890), Бобылев и Стеклов (1896), Стеклов (1899), Горячев (1899), Горячев и Чаплыгин (1900), Чаплыгин (1904), Ковалевский (1908), Гриоли (1947), Докшевич (1966, 1970). 

В связи с 50-летней паузой в нахождении новых случаев возникает естественный вопрос об их полном списке или хотя бы об условиях, допускающих существование новых точных решений.

Думаю, ответ на этот вопрос волнует многих математиков. Несколько принципиальных статей на эту тему я написал. Публиковались они не слишком охотно даже с самого начала, с 1988 года, когда я свою личную увлечённость сделал достоянием математической общественности. А сейчас, когда до финиша осталось всего ничего, вдруг (Ещё одна тема) интерес у уважаемых журналов пропал совсем, хотя раньше точно был. Как минимум включая 2012 год (“On the full list of finite-valued solutions of the Euler-Poisson equations having four first integrals”, Mathematische Nachrichten, 285:10 (2012)).

Журналам это может и не интересно, в самом деле, почему бы и нет? А интересно ли простым читателям я узнаю из статистики блога. 

А это интересно уже мне самому.

 Глава 3. Новые решения случая Ковалевской задачи о движении тяжёлого твёрдого тела (скачать).

В 2016 году на конференции «Dynamics in Siberia» я сделал доклад, посвящённый некоторым точным решениям случая Ковалевской задачи о движении тяжёлого твёрдого тела. Несколько неожиданно для меня основной результат этой статьи был воспринят специалистами весьма настороженно, чтобы не сказать неприветливо. А дискуссия по нему свернула с обсуждения предложенного мной метода интегрирования к обсуждению новизны найденного мной частного решения этой задачи. В таким образом сложившейся ситуации я почёл за благо воздержаться от активной дискуссии. Теперь уже опубликована в «Математическом сборнике» моя статья “О представлении решений задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Ковалевской в ζ- и ℘-функциях Вейерштрасса и неинтегрируемости в квадратурах случая Гесса” о решениях случая Ковалевской, однако я и сейчас не намерен оспаривать тезисы моих оппонентов, а всего лишь имею желание изложить свой взгляд на опубликованный результат.

Я думаю, что любой математик, исследующий дифференциальные уравнения, согласится, что получить решение сразу в явном виде, притом без изощрённых замен переменных – это весьма привлекательная возможность, если она может быть реализована. Но тогда так ли важно, что случай Делоне давно проинтегрирован, а то решение, которое я представил в дополнение к нему, как-то не попало в классические работы. Точнее говоря, я об этом не знал, и никто из заинтересованных участников дискуссии не был готов ответить на вопрос, известно ли это решение или найдено мною впервые.

Существо метода интегрирования, представленного мной, заключается в том, что решение дифференциального уравнения можно искать в явном виде, опираясь на аналитические свойства решения, не решая это уравнение в традиционном смысле. При этом надо понимать, что данный метод не имеет характер алгоритма, а скорее - характер подхода или общего способа решения дифференциальных уравнений и, конечно, сильно зависит от класса решений исследуемого дифференциального уравнения. По сути, если нам удаётся доказать, что решениями дифференциального уравнения являются функции из некоторого класса, то задача его решения сводится фактически к поиску значений коэффициентов для функций из этого класса, при которых эти функции являются решениями данного уравнения, а также к установлению связи полученных таким образом решений с начальными данными исходной задачи. 

 Глава 4. Случай Гесса задачи о движении тяжёлого твёрдого тел (скачать).

Случай Гесса – моя первая серьёзная задача, которую я решил практически до конца. Приятно, конечно, браться за классические задачи и утешать себя мыслью, что даже небольшой результат в классической задаче – результат, а может быть когда-нибудь я смогу получить и большой результат. Но если вдруг не получится, то я же брался за большую задачу. И я оправдаю себя, и я буду не виноват. Хотя кто всерьёз обвиняет тех, кто не смог?

И всё же хочется на пути к большому результату получить пусть не большой, но значительный.

Решение случая Гесса – это та задача, за которую с 1890 года брались очень хорошие математики. Но решил я.

Если кто-то думает, что задачу Гесса можно решить лучше и иначе, пусть попробует. Я с трудом верю, что мой результат можно получить другим способом и, тем самым, сделать его малозначимым.

Спросите меня, а какие же новые неизвестные свойства решения, если есть решение?

Ну, если будет время и настроение, а ещё лучше вдохновение, то отвечу. 
Может даже в этой книге.


 Глава 5. Задача трёх тел (скачать).

Из всех задач, которые я рассматриваю, задача трёх тел – самая неудобная.

Найденные аналитические частные случаи Эйлера и Лагранжа, как всем понятно, найдены давно.

Новые случаи, конечно, очень интересны. Но для меня они интересны только как фактор, вдохновляющий к исследованию задачи, поскольку эти случаи найдены на компьютере без аналитики.

Наиболее современное общее рассмотрение происходит в рамках теории динамических систем, что, конечно же, ставит вопрос: “Неужели всё так плохо с аналитикой?”

Но если мы смотрим на аналитику, например, хотя бы на асимптотику особых точек, то обнаруживаем прекрасные формулы, замечательные параллели в асимптотиках разных типов особых точек и аналогии с асимптотиками задачи твёрдого тела.

Но если там так всё так интересно и непросто, то мы идём именно туда.

Даже быстрый взгляд на полученные результаты классификации особых точек решений даёт основания для выбора целого ряда интересных продолжений метода.

Сейчас я предлагаю пока то, что лежит на поверхности, оставляя себе для размышления  неочевидные задачи. Отсутствие систематической возможности публикаций приучило меня не решать задачи, которые можно решать не останавливаясь.

Или лёгкие рекламные результаты, или такие интригующие задачи, что я просто не могу их не решать. Вот просыпаюсь, а они уже сидят рядом со мной и ждут, что я обращу на них внимание.

А пока, вслед за классификацией особых точек, только полные списки целых и конечнозначных решений.

 Глава 6. КАМ-теория (скачать).

Теория Колмогорова – Арнольда – Мозера меня удивила своей неожиданностью.

В самом деле, когда возникает в математике новое понятие, а возникают они, как правило, как инструмент для решения проблемы, то дальше начинаются вопросы о свойствах этого понятия, о возможностях его обобщения  и расширения области применения. Примеры не привожу – их сколько угодно.

А вот идея, что инвариантные торы интегрируемой системы сохраняются, мне показалась и красивой, и неожиданной и очень эффектно разрешённой.

Мне и сейчас метод Ньютона, применённый в КАМ-теории кажется очень элегантным, даже несмотря на то, что, надо признать, позволяет доказать только существование торов, но очень неэффективен в деле исследования торов.

Поэтому приходится обращаяться к прямым методам, то есть к рядам Линдштедта, и всё доказывать для них, поскольку именно они дают приближение для инвариантных торов.

Поэтому, при всей красоте метода Ньютона, я о нём ничего не пишу. Полагаю, что этот замечательный пример математической классики может восхищать так же как восхищают древние трактаты, фрески, сооружения, но для настоящей работы профессионалу понадобятся может и не такие вычурные, а существенно более простые интсрументы.

И этими инструментами пользуюсь я в одиночестве, так как только я их представил самым авторитетным изданиям и специалистам, издания и специалисты ответили, что тема не интересна, инструменты не нужны.

Впрочем, ответ этот я получил через неведомых мне рецензентов и даже не знаю было ли им стыдно писать такой ответ мне.

В тему об оценках своих результатов добавлю, что несколько неожиданно для меня при обсуждении моих результатов В.И. Арнольд не удивился возможности доказательства равномерной сходимости ряда Линдштедта, но результат о распадении тора назвал весьма интересным. 

Как и в предыдущих главах я пишу только то, что опубликовано, а не опубликованные результаты привожу без доказательства.

Мало ли что? Вдруг мне скажут, что моя публикация на блоге препятствует публикации в солидном журнале.

      Глава 7. Интегрируемость многомерного обобщения случая Лагранжа задачи о движении тяжёлого твёрдого тела (скачать). 

Главу о многомерном случае Лагранжа я с присущей мне скромностью помещаю в самый конец книги, поскольку эта задача не является классической, в отличие от всех предыдущих, а полностью разобрана мною.

Предложил рассмотреть эту задачу А.Т. Фоменко, мой научный руководитель, за что я ему искренне благодарен.

Первая заметка на эту тему была сдана в печать в 1978 году, имела всего 6 страничек и была опубликована в “Математическом сборнике” в 1981 году.

За три года ожидания публикации вышло столько статей по интегрованию задач механики и в таких серьёзных журналах, что я изрядно взгрустнул, полагая, что мою статью передовая математическая общественность вообще никак не заметит.

Уж не знаю, как такое случилось, но соотношение объёма моей заметки и количества ссылок, а именно, под пятьдесят, меня больше удивляет, чем греет моё самолюбие. Последняя ссылка, согласно ResearchGate: “Your publication has 1 new citation

On the Motion of a Multidimensional Body with Fixed Point in a Gravitational Field

Singular Reduction of the 2-Body Problem on the 3-Sphere and the 4-Dimensional Spinning Top

Article

Full-text available

Jul 2019 REGUL CHAOTIC DYN

Philip Arathoon.”

Поэтому, надеюсь, и продолжение моей заметки, в том числе статья в “Математическом сборнике” в 2011, будут интересны.

home page

ЧТО ЧИТАТЬ ДАЛЬШЕ

Если ты прочитал, если ты прочитала две мои книги «НА ПУТИ К МАТЕМАТИКЕ» и «МАТЕМАТИКА, КОТОРАЯ ЖИВЁТ САМА ПО СЕБЕ», то что читать дальше.

Думаю, что без проблем можно будет читать:

1.      В.А. Зорич «Математический анализ»

2.      Ван дер Варден «Современная алгебра»

3.      Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т.Фоменко «Современная геометрия»

4.      В.И. Арнольд «Математические методы классической механики»

Возможно, что и с трудом, но если интересно, то после 

5.   А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального  анализа».

6.       Дж. Хамфрис «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений».

Попробуйте, возможно получится и даже понравится

7.       Л.А. Тахтаджян «Квантовая механика для математиков»

Я написал читать, а что это значит?

Книги толстые. Посмотри оглавление. Читай что-то на уровне формулировок, что-то с доказательствами, что считаешь важным или нужным, или интересным.

Самое главное, учись себе задать вопрос: «Что я сейчас хочу понять?» и, самое главное, внятно себе на него ответить. Ищи в этих книгах.

Когда дорастёшь до того, что в этих книгах нет ответа, ищи в других и не огорчайся, если они написаны хуже и непонятнее. Считай эти новые книги просто подсказками, думай сам, пользуясь этими подсказками.

Если и книг нет ищи в статьях.

Если и в статьях нет, радуйся. Ты добрался до той математики, которую должен делать сам.

Идеи как решить проблему записывай. Бывает, что через некоторое время возникает возможность записанную мысль продолжить или даже понимание, как решить. Пытайся двигаться по разным направлениям, разумеется, не одновременно. На каком-то направлении может случится прорыв.

Лично у меня опыт чтения книг небольшой. Есть две причины читать: нужно и интересно. Я всегда старался как можно больше читать того, что интересно и как можно меньше, того, что нужно.

Не настаиваю, что именно так и надо. Не знаю, самый ли это эффективный способ существования в математике, но лично мне, зато, всегда было интересно. Заранее не планировал решить проблемы, но заранее определял направление движения и объект интересов.
       И сколько бы я не сделал в своей теме, всегда может следующий за мной сделать больше и красивее.

 
home page

МАТЕМАТИКА, КОТОРАЯ ЖИВЁТ САМА ПО СЕБЕ

Я давно, хотя и не заметил, когда это началось, смотрю на Математику как на живую взрослеющую вместе с Человечеством Личность, которой присущи и красота, и строгость, и смысл существования.

А математики – это её биографы, писатели и художники. Как, например, есть Любовь и есть поэты.

Математики, конечно, бывают разные, я никого не хочу судить. Но кому-то удаётся написать несколько гениальных строчек, кому-то роман, а кто-то просто старался, но что-то не почувствовал или не понял. Поэты и писатели тоже ведь не все одинаково талантливы.

Мы восхищаемся и талантом художника, и красотой образа, который художника вдохновил.

Я восхищаюсь и Математикой, и её поэтами.

Я не могу объяснить, почему я люблю портреты Крамского, Серова, Модильяни, Петрова-Водкина, но достаточно равнодушен к Репину и даже к Джоконде. Почему-то зацепили «Красные рыбки» Матисса, нравится Моне, но не цепляет Мане.

 

 

Эти портреты мне нравятся больше, чем всемирно признанные.

Поэтому да простят меня те, кто Математику любит по-другому.

  

Теорема Стокса.

Если кто-то скажет, что у теоремы Стокса есть недостатки, то я их не вижу. В ней наглядность математического анализа, абстрактность линейной алгебры, всеобщность дифференциальной геометрии. И всё это очень гармонично.

А начинающим сообщу, что это теорема Ньютона – Лейбница в своей самой прекрасной поре.

  

Дифференциальные уравнения.

Пока у меня нет ощущения, что это я, именно я, пишу книгу. От меня зависит только стиль, моё категорическое желание все теоремы со сложными доказательствами или доказать легко, не напрягаясь, или отложить на потом.

Поэтому, раз у нас есть матрица Жордана линейного преобразования, а лучше сказать его структура и есть определение дифференциального уравнения, то ясное дело, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами – это То, что мне говорит: «Теперь пиши об Этом».

Ну, да, конечно. Это же не я пишу книгу.

 

Гильбертовы пространства

Как ни интересен мир конечномерных линейных пространств, но вглядываясь в линейные пространства непрерывных, дифференцируемых, периодических и ещё более других функций, чувствуешь, что ещё много интересного, удивительного и загадочного есть у нас в запасе.

Что там? Это просто бесконечномерные пространства, точнее счётномерные, или что-то похуже? Что можно там найти интересного, а что полезного?

Под полезным я понимаю, что человек, в нашем случае, математик ушёл в загадочные пространства, нашёл там много удивительного, а потом вернулся и очень важное нам объяснил. Сказал, что понял это там в том пространстве.

А то бывает ушёл и не вернулся. Может там ему и хорошо в его пространстве. Когда уходил, говорил, что хочет понять одну проблему. А потом в суете своей новой жизни совсем забыл, что обещал. Рассказывает, что там у него полон рот забот с его новыми проблемами, а наша общая старая проблема ему уже не интересна. Я говорю: «Ну расскажи примерно, про свои новые проблемы». А он: «Нет, так ты не поймёшь. Это надо со мной там».

Так бывает. Но с гильбертовыми пространствами всё хорошо. Там уже многие побывали и вернулись более умными и с хорошим настроением.

 

Все геометрии

Вообще говоря, все геометрии содержатся в римановой геометрии. Но я не стал так называть главу, поскольку тогда возникает ощущение, что это Бернхард Риман и создал её. Но он просто прекрасно завершил то, что начал Евклид и продолжали Архимед, Декарт, Понселе, Лобачевский, Гаусс и многие другие.

Что меня потрясает в этом прекрасном уголке математики. Изящество обстановки и удивительное ощущение, когда всего мало, но при этом всё необходимое есть.

Десятки аксиом евклидовой, проективной, неевклидовой геометрии с лёгкостью заменяют многообразие и метрика на нём.

Но если надо, то, пожалуйста: специальная теория относительности и общая.

 

 Двоякопериодические функции

Двоякопериодические функции появились, потому что встретились комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Я плохо знаю историю их взаимоотношений. Их подружили то ли интегралы, то ли ряды, но я предпочитаю рассказывать так, как это знаю из версии рядов.

Очень красивая история. Я её вспоминаю, когда рассказываю о точных решениях в теории гамильтоновых систем. 

А с непрерывным факториалом наоборот. Очень плохо понимаю, что рассказывают ряды, а с интегралом всё ясно и понятно. 

Впрочем, чему я удивляюсь. С кем-то интересно поговорить о политике, а с кем-то о поэзии.

  Абелевы группы, гомологии и когомологии

В математике очень часто бывает так, что придумывается теория, а потом оказывается она как раз и была нужна. И как авторы теории догадались?

Нет, они не догадались. Просто они понимали, что такое красивая теория и от одной красивой теории делали шаг в сторону новой. А дальше ноги сами несут туда, где открываются новые горизонты или находится очень симпатичное место для для невеликих домиков.

Сначала были натуральные числа, потом целые, потом рациональные, потом иррациональные. А потом можно забраться в комплексные числа. А можно, наоборот, вернуться назад, забыть на время об умножениии попасть уютный, аккуратный городок, где живут абелевы группы.

 Интеграл Лебега.

Конечно, очень замечательно от интеграла Римана перейти к интегралу Коши, где функции не просто гладкие, а очень гладкие. И всё очень прекрасно.

Но привлекает и некоторой суровой красотой критерий Лебега интегрируемости по Риману для функций совсем не гладких. И теория интеграла Лебега очень крута в своей общности.

И когда кажется, что забрёл туда, где всё жёстко и не гладко, выясняется, что очень гладкие, аналитические торы распадаются в канторово множество, которое как раз здесь и обитает.