МАТЕМАТИКА, КОТОРАЯ ЖИВЁТ САМА ПО СЕБЕ

Я давно, хотя и не заметил, когда это началось, смотрю на Математику как на живую взрослеющую вместе с Человечеством Личность, которой присущи и красота, и строгость, и смысл существования.

А математики – это её биографы, писатели и художники. Как, например, есть Любовь и есть поэты.

Математики, конечно, бывают разные, я никого не хочу судить. Но кому-то удаётся написать несколько гениальных строчек, кому-то роман, а кто-то просто старался, но что-то не почувствовал или не понял. Поэты и писатели тоже ведь не все одинаково талантливы.

Мы восхищаемся и талантом художника, и красотой образа, который художника вдохновил.

Я восхищаюсь и Математикой, и её поэтами.

Я не могу объяснить, почему я люблю портреты Крамского, Серова, Модильяни, Петрова-Водкина, но достаточно равнодушен к Репину и даже к Джоконде. Почему-то зацепили «Красные рыбки» Матисса, нравится Моне, но не цепляет Мане.

 

 

Эти портреты мне нравятся больше, чем всемирно признанные.

Поэтому да простят меня те, кто Математику любит по-другому.

  

Теорема Стокса.

Если кто-то скажет, что у теоремы Стокса есть недостатки, то я их не вижу. В ней наглядность математического анализа, абстрактность линейной алгебры, всеобщность дифференциальной геометрии. И всё это очень гармонично.

А начинающим сообщу, что это теорема Ньютона – Лейбница в своей самой прекрасной поре.

  

Дифференциальные уравнения.

Пока у меня нет ощущения, что это я, именно я, пишу книгу. От меня зависит только стиль, моё категорическое желание все теоремы со сложными доказательствами или доказать легко, не напрягаясь, или отложить на потом.

Поэтому, раз у нас есть матрица Жордана линейного преобразования, а лучше сказать его структура и есть определение дифференциального уравнения, то ясное дело, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами – это То, что мне говорит: «Теперь пиши об Этом».

Ну, да, конечно. Это же не я пишу книгу.

 

Гильбертовы пространства

Как ни интересен мир конечномерных линейных пространств, но вглядываясь в линейные пространства непрерывных, дифференцируемых, периодических и ещё более других функций, чувствуешь, что ещё много интересного, удивительного и загадочного есть у нас в запасе.

Что там? Это просто бесконечномерные пространства, точнее счётномерные, или что-то похуже? Что можно там найти интересного, а что полезного?

Под полезным я понимаю, что человек, в нашем случае, математик ушёл в загадочные пространства, нашёл там много удивительного, а потом вернулся и очень важное нам объяснил. Сказал, что понял это там в том пространстве.

А то бывает ушёл и не вернулся. Может там ему и хорошо в его пространстве. Когда уходил, говорил, что хочет понять одну проблему. А потом в суете своей новой жизни совсем забыл, что обещал. Рассказывает, что там у него полон рот забот с его новыми проблемами, а наша общая старая проблема ему уже не интересна. Я говорю: «Ну расскажи примерно, про свои новые проблемы». А он: «Нет, так ты не поймёшь. Это надо со мной там».

Так бывает. Но с гильбертовыми пространствами всё хорошо. Там уже многие побывали и вернулись более умными и с хорошим настроением.

 

Все геометрии

Вообще говоря, все геометрии содержатся в римановой геометрии. Но я не стал так называть главу, поскольку тогда возникает ощущение, что это Бернхард Риман и создал её. Но он просто прекрасно завершил то, что начал Евклид и продолжали Архимед, Декарт, Понселе, Лобачевский, Гаусс и многие другие.

Что меня потрясает в этом прекрасном уголке математики. Изящество обстановки и удивительное ощущение, когда всего мало, но при этом всё необходимое есть.

Десятки аксиом евклидовой, проективной, неевклидовой геометрии с лёгкостью заменяют многообразие и метрика на нём.

Но если надо, то, пожалуйста: специальная теория относительности и общая.

 

 Двоякопериодические функции

Двоякопериодические функции появились, потому что встретились комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Я плохо знаю историю их взаимоотношений. Их подружили то ли интегралы, то ли ряды, но я предпочитаю рассказывать так, как это знаю из версии рядов.

Очень красивая история. Я её вспоминаю, когда рассказываю о точных решениях в теории гамильтоновых систем. 

А с непрерывным факториалом наоборот. Очень плохо понимаю, что рассказывают ряды, а с интегралом всё ясно и понятно. 

Впрочем, чему я удивляюсь. С кем-то интересно поговорить о политике, а с кем-то о поэзии.

  Абелевы группы, гомологии и когомологии

В математике очень часто бывает так, что придумывается теория, а потом оказывается она как раз и была нужна. И как авторы теории догадались?

Нет, они не догадались. Просто они понимали, что такое красивая теория и от одной красивой теории делали шаг в сторону новой. А дальше ноги сами несут туда, где открываются новые горизонты или находится очень симпатичное место для для невеликих домиков.

Сначала были натуральные числа, потом целые, потом рациональные, потом иррациональные. А потом можно забраться в комплексные числа. А можно, наоборот, вернуться назад, забыть на время об умножениии попасть уютный, аккуратный городок, где живут абелевы группы.

 Интеграл Лебега.

Конечно, очень замечательно от интеграла Римана перейти к интегралу Коши, где функции не просто гладкие, а очень гладкие. И всё очень прекрасно.

Но привлекает и некоторой суровой красотой критерий Лебега интегрируемости по Риману для функций совсем не гладких. И теория интеграла Лебега очень крута в своей общности.

И когда кажется, что забрёл туда, где всё жёстко и не гладко, выясняется, что очень гладкие, аналитические торы распадаются в канторово множество, которое как раз здесь и обитает.