НА ПУТИ К МАТЕМАТИКЕ

Гл. 1. Математический анализ

как раздел высшей математики является его классической частью и поэтому мало изменяется с точки зрения его преподавания.

Как правило, он содержит в себе все основные понятия высшей математики, которые потом встречаются в последующих более специализированных курсах. Поскольку таких понятий набирается достаточно большое число, то изложение математического анализа сводится к определению всех этих понятий и, соответственно, с них связанных теорем, среди которых встречаются и весьма сложные. Доказательства сложных теорем в таком случае опускаются.

Предлагаемый ниже курс математического анализа основывается на несколько ином принципе. Кратко его можно охарактеризовать следующим образом: сначала определяется список основных теорем, а потом вводятся только те понятия, которые необходимы для доказательства теорем выбранного списка.

В результате такого подхода при заметном сокращении объёма книги все теоремы доказываются полностью.

Кому мы предлагаем такой курс? В первую очередь не профессиональным математикам, но использующим математику совсем не эпизодически. Например, физикам, прикладным математикам, программистам и специалистам других, самых разных направлений на стыке с математикой. Как студентам, так и уже имеющим диплом. Во вторую очередь добросовестным студентам, по разным обстоятельствам, пропустившим занятия, а также не совсем пропащим лодырям и тунеядцам, прогулявшим по причине молодости и несознательности пары, но осознавшими и желающими наверстать. Я бы не писал о последних, но среди обращавшихся ко мне за помощью таких было весьма много. И наконец, школьникам, которым скучно решать однообразные задачи, а особенно тем, хоть таких я встречал мало, кто чувствует красоту математики и для которых красота теории вдохновляет заметно больше, чем даже очень изящные решения олимпиадных задач. Я сам был таким.

С какого класса школы можно читать это?

Прочитайте первый параграф. Если всё понятно, то уже можно.

И для профессионалов. Более конкретно характеризуя предлагаемый курс, отмечу, например, что в нём свойство компактности отрезка используется только как свойство вложенной системы отрезков иметь общую точку. Ни классического определения компактности и, соответственно, леммы Бореля - Лебега, ни секвенциальной компактности в нём нет, хотя и доказывается существование сходящейся подпоследовательности в ограниченной. Кроме того, самая трудная теорема дифференциального исчисления – теорема Тейлора – доказывается тривиальным интегрированием по частям в интегральном исчислении.

Я также опускаю доказательства свойств о-малого на основе классического определения, заменяя о-малое данной функции произведением этой функции на бесконечно малую.

Наконец, считаю, что степенные ряды нужно сразу рассказывать для комплексных чисел, предварительно объяснив, что практически всё, что верно для действительного анализа, остаётся верным и для комплексного.

Гл. 2. Комплексный анализ

 обычно рассматривается как самостоятельная, но специальная дисциплина, с чем я совершенно не согласен. Поэтому начинаю изложение сразу же после основ математического анализа.

Комплексный анализ – один из красивейших разделов высшей математики, а как по мне, так и самый красивый.

Считаю несерьёзным изложение в действительном варианте степенных рядов в математическом анализе, жордановых форм и самосопряжённых операторов в линейной алгебре, основной теоремы алгебры в высшей алгебре, поверхностей в аналитической геометрии, дифференциальных уравнений с аналитической правой частью в теории дифференциальных уравнений.

И это я сказал только об основах высшей математики. А теория чисел с Великой теоремой Ферма? Теория Галуа, теория гамильтоновых систем, теория групп и алгебр Ли, квантовая механика – все эти теории невозможны без комплексных чисел. В конце концов, проблема дзета-функции Римана на 1 000 000 $. Эта функция где и куда? Из множества комплексных чисел - в множество комплексных чисел. И я не начал курс высшей математики с этого раздела только потому, что в школе только самые любознательные ученики знают, чему равен квадратный корень из -1.

Но у себя на блоге я могу позволить себе удовольствие рассказать всё это так, как считаю нужным и удивить даже не слишком искушённого читателя красотой комплексных чисел.

Да, самым недоверчивым и консервативно настроенным читателям обещаю, что доказательства будут простыми и даже более естественными, чем в действительном варианте.
  

Гл. 3. Линейная алгебра

Одним из важнейших разделов высшей математики является линейная алгебра. По количеству приложения в самой математике, физике и механике линейная алгебра сравнима с такими разделами как математический анализ и дифференциальные уравнения. Что же касается использования её за пределами математических теорий, то, скажем, в экономике линейная алгебра не имеет конкурентов и порождает целую теорию, которую принято называть линейным программированием.

На основе линейной алгебры строится функциональный анализ, который в свою очередь является аппаратом квантовой механики.

Наконец, принципы линейной алгебры использует теория, позволяющая кодировать звуковые гармонические сигналы, то есть музыку и речь. А это не много, не мало – цифровые технологии.

Этих причин более, чем достаточно, чтобы приступить к изучению основ линейной алгебры.

Гл. 4. Аналитическая геометрия

Обратим внимание на то, что имея структуру линейного пространства на двумерной плоскости, а также скалярное произведение, мы можем сформулировать любую теорему евклидовой геометрии и доказывать её, опираясь на аксиомы, сформулированные в первом параграфе лекций по линейной алгебре.

И в этом есть необходимость, поскольку даже до сегодняшнего дня в школах преподаётся геометрия на основе евклидовой аксиоматики. Заметим, что аксиомы формулируются не в полном объёме из списка Евклида, который и сам по себе полным не является в том смысле, что и у Евклида некоторые утверждения считаются очевидными и не попадают ни в список аксиом, ни в список теорем.

Это не означает, что необходимо как-то изменять содержание школьной геометрии. Наоборот, её ценность как раз в том, что она в большой мере опирается на наглядный опыт, то есть не является формальной.

В своё время (в 1973) из школьного курса исключили арифметику и вряд ли это повысило уровень логического мышления школьников. Алгебра, конечно, даёт более быстрый результат при решении задач, однако сама суть решения полностью исчезает за алгебраическими выкладками.

Поэтому вполне разумно, конечно, начинать с геометрии Евклида, но в своё время нужно всё-таки начать смотреть на неё с точки зрения Рене Декарта, который сказал, что решил все задачи геометрии, и имел право это сказать. А чтобы понять это, необходимо разобраться и с аксиомами и теоремами Евклида на основе координатной геометрии, а точнее, на основе аксиом линейного пространства со скалярным произведением.

Будем разбираться.

 

home page