В 1988 году, когда я публиковал свою первую статью об аналитических свойствах решений задачи о движении тяжелого твердого тела, я опасался того, что стоит только мне изложить основные подходы для реализации идеи такого исследования, как тут же найдутся специалисты, которые быстрее и лучше меня смогут все это сделать.
Такой печальный, но вполне естественный для новичков, опыт у меня был с многомерной задачей о движении тяжелого твердого тела в случае Лагранжа (О движении многомерного тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести, Матем. сб., 1981, том 114(156), №3, с. 465–470). Моя статья вышла чуть позже, чем статья Реймана (Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли А.Г. Рейман Зап. научн. сем. ЛОМИ, 95 (1980), 3–54), в которой случай Лагранжа был рассмотрен на существенно более высоком уровне. А в статьях Адлера и Мербеке (Linearization of Hamiltonian Systems, Jacobi Varieties and Representation Theory, Completely Integrable Systems, Euclidean Lie Algebras, and Curves) для классического случая Лагранжа была предъявлена LA-пара с параметром и анонсирована статья Ратьи о многомерном случае Лагранжа.
Не берусь объяснять, почему так произошло, но ни сразу после моих первых статей по новой тогда тематике, ни через десять, ни через двадцать лет спустя специалисты по гамильтоновым системам не посчитали необходимым обратить внимание на перспективы тематики, которую я понемногу развивал. Вначале меня радовала возможность спокойно заниматься любимой темой вдали от математических баталий, начатых статьей Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (1967), "Method for solving the Korteweg–de Vries equation", Physical Review Letters 19 (19): 1095–1097, но со временем радость от первых самостоятельных результатов начала сменяться недоумением: «Как же так? Неужели такая интересная для меня самого задача совсем не интересна для других?»
В общем, почти как в известной истории Чжуан Цзы и Рене Тома, с той только поправкой, что когда я научился искусству убивать драконов, то обнаружил, что не находятся ученики, желающие учится искусству убивать драконов.
И тогда я решил написать историю о том, как я учился искусству убивать драконов.
В прошлой заметке я привел свои результаты по случаю Гесса. Сегодня, 8 Марта хочу отдать должное удивительной и неповторимой в истории математики Софье Васильевне Ковалевской.
Особые точки решений задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Ковалевской удивительны тем, что кроме, как и положено в общем случае, пятипараметрического семейства асимптотик, имеется четырехпараметрическое семейство, параметризованное четырьмя первыми интегралами задачи (с.1207 статьи A. Belyaev. “On the full list of finite-valued solutions of the Euler-Poisson equations having four first integrals”. Mathematische Nachrichten, Volume 285, Issue 10, pages 1199–1229, July 2012).
Однако, при этом классическое решение Ковалевской общего вида не имеет особых точек с асимптотикой такого вида.
Из этого следует существование частного решения, которое не входит в семейство решений, задаваемое формулами общего решения Ковалевской.
Известные частные решения Делоне и Бобылева – Стеклова также не имеют особых точек с асимптотикой такого вида.
И что же это тогда за неизвестное частное решение с такими вот особыми особыми точками?
Я привожу его представление в явном виде в анонсе статьи, опуская подробные доказательства:
