Учитывая, что уже наступил 2017 год
по новому стилю, поздравляю всех моих читателей с этим событием и наступающими
праздниками Рождества Христова и Старым
Новым годом!
Год назад на
конференции «Dynamics in Siberia» я сделал доклад,
посвящённый некоторым точным решениям случая Ковалевской задачи о движении
тяжёлого твёрдого тела. Несколько неожиданно для меня основной результат этой
статьи был воспринят специалистами весьма настороженно, чтобы не сказать
неприветливо. А дискуссия по нему свернула с обсуждения предложенного мной
метода интегрирования к обсуждению новизны найденного мной частного решения
этой задачи. В таким образом сложившейся ситуации я почёл за благо воздержаться
от активной дискуссии. Теперь уже опубликована в «Математическом сборнике» моя
статья “О представлении
решений задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Ковалевской
в
Я думаю, что
любой математик, исследующий дифференциальные уравнения, согласится, что
получить решение сразу в явном виде, притом без изощрённых замен переменных –
это весьма привлекательная возможность, если она может быть реализована. Но
тогда так ли важно, что случай Делоне давно проинтегрирован, а то решение,
которое я представил в дополнение к нему, как-то не попало в классические
работы. Точнее говоря, я об этом не знаю и никто из заинтересованных участников
дискуссии не был готов ответить на вопрос, известно ли это решение или найдено
мною впервые.
Существо
метода интегрирования, представленного мной, заключается в том, что решение
дифференциального уравнения можно искать в явном виде, опираясь на
аналитические свойства решения, не решая это уравнение в традиционном смысле.
При этом надо понимать, что данный метод не имеет характер алгоритма, а скорее
- характер подхода или общего способа решения дифференциальных уравнений и,
конечно, сильно зависит от класса
решений исследуемого дифференциального уравнения. По сути, если нам удаётся
доказать, что решениями дифференциального уравнения являются функции из
некоторого класса, то задача решения дифференциального уравнения сводится
фактически к поиску значений коэффициентов для функций из этого класса, при
которых эти функции являются решениями данного уравнения а также к установлению
связи полученных таким образом решений с начальными данными исходной задачи.
В случае, если
мы имеем дело с дифференциальными уравнениями с параметрами, то нужно
понимать, что решением такого рода задач является классификация всех значений
параметров этих уравнений, при которых они (уравнения) имеют решение. Поэтому,
в контексте предложенного мною подхода совершенно естественно для таких
уравнений вначале получить ответ на вопрос, при каких параметрах их решения
принадлежат известному классу функций. А уже затем - искать точные решения
уравнений в виде функций из этого класса. Именно так и поступала С.В.
Ковалевская при нахождении своего известного частного случая задачи о движении
тяжёлого твёрдого тела. С тем только отличием, что она не пыталась
классифицировать значения параметров в уравнении, а лишь ограничила для себя
область поиска с той целью, чтобы найти хотя бы какие-то значения параметров,
при которых уравнения бы имели решение. В этом контексте мой подход, конечно,
является совершенно логичным продолжением подхода С.В. Ковалевской и, как я
надеюсь, позволит в задаче о движении тяжёлого твёрдого тела классифицировать
все возможные значения параметров для уравнений, а затем - и решения этих
уравнений.
Теперь
несколько слов о применимости предложенного мною подхода, а также о конкретном
способе его реализации. Следует заметить, что все интересные примеры из теории
гамильтоновых систем имеют аналитические решения, которые, строго говоря,
полностью определяются одной единственной асимптотикой в окрестности особой
точки. Однако, это представление решения требует знания бесконечного числа коэффициентов
асимптотики, что, конечно, не реализуемо. Тем не менее, для достаточно хороших
периодических решений возможно, используя различные методы исследования,
получить представление решения, в котором асимптотики по типу совпадают с
асимптотиками решений исследуемого дифференциального уравнения, после чего
остаётся только подобрать подходящие значения параметров.
Именно это и
было сделано в моей статье. Полученный результат, конечно, не нужно
понимать как метод, дающий алгоритм
нахождения особых периодических решений любой задачи. Для получения подобных
результатов в других задачах может быть придётся получать промежуточные
технические результаты совсем не похожие на те, которые были получены мною.
Однако я могу констатировать, что в ряде задач исследование особых точек
решений позволяет доказать наличие решений в известных функциях с известными
особенностями и даже получить представление таких решений в явном виде на
основании полученной ранее информации об аналитических свойствах этих решений.
Ещё замечу,
что до сих пор я применял свой метод интегрирования дифференциальных уравнений
лишь в вырожденных ситуациях, когда общие подходы не давали результата. Мне
кажется, что использование аналитических свойств общих классов решений вполне может
привести к нахождению более удобных представлений для общих решений также. Но
это уже будет, как говорит Каневский, совсем другая история, новая статья и
новые обсуждения.
А пока поздравляю всех ещё раз с наступающим Рождеством и Старым Новым годом!
