Как я уже
сообщал, я искал себе новую задачу, очень крутую и мною неизведанную.
Выбор сделан.
Замечу, выбрать
задачу – очень не простое дело.
Идеально, чтобы
она имела прекрасную формулировку, была сложной, но решаемой, и чтобы решение
было с красивой идеей.
После
предварительного знакомства могу сказать, что формулировка прекрасна и задача
сложная. Я бы даже сказал очень сложная, но так не говорю, чтобы самого себя не
испугать её неприступностью.
Как её решать, в
основном, я определился. Главное – не так, как это делали мои предшественники, хотя
бы потому, что они её не решили.
И вот первая трудность. Доказать, что на отрезке (1, 1.6) графики функций p и q не пересекаются, точнее p < q.
Первая функция – полином 4
степени от экспоненты с коэффициентами, являющимися произведениями ln(x) на полиномы или просто полиномами от x до 4 степени включительно. Вторая – аналогичная,
только полином 3 степени от экспоненты с коэффициентами, являющимися
произведениями логарифма на полиномы или просто полиномами от x до 3 степени включительно.
А так выглядят сами графики
функций и их разность:
Уже по графикам видно,
что задача совсем не простая. На первом рисунке графики красного и синего цвета.
Уточню, что по вертикали
графики отличаются от чуть меньше 1 до чуть меньше 18, а по горизонтали – от 0,0016 до 0,0024.
И доказать это оказалось
возможно.
Но я даже не прикоснулся
к самому сокровенному. Только первое знакомство.
P.S. Вообще-то, я очень не
люблю оценки. И кафедру я выбирал, и все задачи так, чтобы их не было вообще. Так
что необходимость ТАКИХ оценок, о которой я рассказал – неожиданность.
Я даже в своей статье по
КАМ-теории, во-первых, очень существенно использовал не свои оценки, а В.И.
Арнольда, которые он привёл в своих известных двух леммах, а, во-вторых, только
доказал существование оценок, при которых ряды Линдштедта сходятся равномерно.
Хотя морально был должен получить и сами оценки. Но не смог себя заставить.
И вот, на тебе!
неопубликованные результаты, unpublished results
