ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Так случилось, что в Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова я поступил, когда аббревиатуру КдФ (KdV) можно было видеть в десятках статей математиков всего мира. После статьи Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097, эта тема стала топовой.

Из задачи математической физики довольно скоро она стала задачей теории гамильтоновых систем: В. Е. Захаров, Л. Д. Фаддеев, “Уравнение Кортевега–де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система”, Функц. анализ и его прил., 5:4 (1971), 18–27, Clifford S. Gardner. Korteweg‐de Vries Equation and Generalizations. IV. The Korteweg‐de Vries Equation as a Hamiltonian System, Journal of Mathematical Physics 12, 1548-1551, (1971).

Дальше, в 1974, когда я был на втором курсе, появились статьи: Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, “Периодическая задача для уравнений Кортевега–де Фриза и Штурма–Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией”, ДАН СССР, 219:3 (1974), 531–534, Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, “Периодические и условно периодические аналогии многосолитонных решений уравнения Кортевега–де Фриза”, ЖЭТФ, 67:12 (1974), 2131–2144, С. П. Новиков, “Периодическая задача для уравнения Кортевега–де Фриза. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 54–66.

А после статьи Мищенко А.С., Фоменко А.Т., “Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли”, Доклады АН СССР, 231:3 (1976), 536–538, даже мне, студенту третьего курса, стало очевидно, что уйти в сторону от темы, захватившей массу первоклассных математиков и моего научного руководителя, А.Т. Фоменко в том числе, не достойно, но хоть что-то заметное добавить от себя практически безнадёжно.

Можно считать чудом, что тема, предложенная мне шефом, оказалась и в тренде, и решаемой. Впрочем, об этом я пишу не чтобы похвалиться, а, чтобы пояснить, почему теория гамильтоновых систем стала моей математической судьбой.

Об этом пишу книгу. В книге будет и введение в теорию гамильтоновых систем, и мои собственные опубликованные результаты.

«Теория гамильтоновых систем и приложения».


Глава 1. Гамильтоновы системы (скачать).

Насколько я понимаю ситуацию в современной математике, её мотором являются задачи из нелинейных дифференциальных уравнений. Но при этом средства для решения выбираемых задач могут быть из самых разных областей математики и становятся всё более сложными.

Впрочем, если оглянуться назад, то можно видеть, как со временем сложное превращается в лёгкое, благодаря новым доказательствам, новым методам, новым понятиям. Примеров на эту тему множество и, думаю, что вряд ли найдутся желающие это оспаривать.

Не скажу, что серьёзная математика – это приятно, легко и интересно, если даже всё рассказывать наилучшим образом. Но к этому я намерен стремиться.

 Глава 2. Точные решения задачи о движении тяжёлого твёрдого тела (скачать)

Со времени нахождения первого интегрируемого случая найдено тринадцать общих и частных решений классической задачи о движении тяжёлого твёрдого. Авторы этих решений: Эйлер (1758), Лагранж (1773), Ковалевская (1866), Гесс (1890), Бобылев и Стеклов (1896), Стеклов (1899), Горячев (1899), Горячев и Чаплыгин (1900), Чаплыгин (1904), Ковалевский (1908), Гриоли (1947), Докшевич (1966, 1970). 

В связи с 50-летней паузой в нахождении новых случаев возникает естественный вопрос об их полном списке или хотя бы об условиях, допускающих существование новых точных решений.

Думаю, ответ на этот вопрос волнует многих математиков. Несколько принципиальных статей на эту тему я написал. Публиковались они не слишком охотно даже с самого начала, с 1988 года, когда я свою личную увлечённость сделал достоянием математической общественности. А сейчас, когда до финиша осталось всего ничего, вдруг (Ещё одна тема) интерес у уважаемых журналов пропал совсем, хотя раньше точно был. Как минимум включая 2012 год (“On the full list of finite-valued solutions of the Euler-Poisson equations having four first integrals”, Mathematische Nachrichten, 285:10 (2012)).

Журналам это может и не интересно, в самом деле, почему бы и нет? А интересно ли простым читателям я узнаю из статистики блога. 

А это интересно уже мне самому.

 Глава 3. Новые решения случая Ковалевской задачи о движении тяжёлого твёрдого тела (скачать).

В 2016 году на конференции «Dynamics in Siberia» я сделал доклад, посвящённый некоторым точным решениям случая Ковалевской задачи о движении тяжёлого твёрдого тела. Несколько неожиданно для меня основной результат этой статьи был воспринят специалистами весьма настороженно, чтобы не сказать неприветливо. А дискуссия по нему свернула с обсуждения предложенного мной метода интегрирования к обсуждению новизны найденного мной частного решения этой задачи. В таким образом сложившейся ситуации я почёл за благо воздержаться от активной дискуссии. Теперь уже опубликована в «Математическом сборнике» моя статья “О представлении решений задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Ковалевской в ζ- и ℘-функциях Вейерштрасса и неинтегрируемости в квадратурах случая Гесса” о решениях случая Ковалевской, однако я и сейчас не намерен оспаривать тезисы моих оппонентов, а всего лишь имею желание изложить свой взгляд на опубликованный результат.

Я думаю, что любой математик, исследующий дифференциальные уравнения, согласится, что получить решение сразу в явном виде, притом без изощрённых замен переменных – это весьма привлекательная возможность, если она может быть реализована. Но тогда так ли важно, что случай Делоне давно проинтегрирован, а то решение, которое я представил в дополнение к нему, как-то не попало в классические работы. Точнее говоря, я об этом не знал, и никто из заинтересованных участников дискуссии не был готов ответить на вопрос, известно ли это решение или найдено мною впервые.

Существо метода интегрирования, представленного мной, заключается в том, что решение дифференциального уравнения можно искать в явном виде, опираясь на аналитические свойства решения, не решая это уравнение в традиционном смысле. При этом надо понимать, что данный метод не имеет характер алгоритма, а скорее - характер подхода или общего способа решения дифференциальных уравнений и, конечно, сильно зависит от класса решений исследуемого дифференциального уравнения. По сути, если нам удаётся доказать, что решениями дифференциального уравнения являются функции из некоторого класса, то задача его решения сводится фактически к поиску значений коэффициентов для функций из этого класса, при которых эти функции являются решениями данного уравнения, а также к установлению связи полученных таким образом решений с начальными данными исходной задачи. 

 Глава 4. Случай Гесса задачи о движении тяжёлого твёрдого тел (скачать).

Случай Гесса – моя первая серьёзная задача, которую я решил практически до конца. Приятно, конечно, браться за классические задачи и утешать себя мыслью, что даже небольшой результат в классической задаче – результат, а может быть когда-нибудь я смогу получить и большой результат. Но если вдруг не получится, то я же брался за большую задачу. И я оправдаю себя, и я буду не виноват. Хотя кто всерьёз обвиняет тех, кто не смог?

И всё же хочется на пути к большому результату получить пусть не большой, но значительный.

Решение случая Гесса – это та задача, за которую с 1890 года брались очень хорошие математики. Но решил я.

Если кто-то думает, что задачу Гесса можно решить лучше и иначе, пусть попробует. Я с трудом верю, что мой результат можно получить другим способом и, тем самым, сделать его малозначимым.

Спросите меня, а какие же новые неизвестные свойства решения, если есть решение?

Ну, если будет время и настроение, а ещё лучше вдохновение, то отвечу. 
Может даже в этой книге.


 Глава 5. Задача трёх тел (скачать).

Из всех задач, которые я рассматриваю, задача трёх тел – самая неудобная.

Найденные аналитические частные случаи Эйлера и Лагранжа, как всем понятно, найдены давно.

Новые случаи, конечно, очень интересны. Но для меня они интересны только как фактор, вдохновляющий к исследованию задачи, поскольку эти случаи найдены на компьютере без аналитики.

Наиболее современное общее рассмотрение происходит в рамках теории динамических систем, что, конечно же, ставит вопрос: “Неужели всё так плохо с аналитикой?”

Но если мы смотрим на аналитику, например, хотя бы на асимптотику особых точек, то обнаруживаем прекрасные формулы, замечательные параллели в асимптотиках разных типов особых точек и аналогии с асимптотиками задачи твёрдого тела.

Но если там так всё так интересно и непросто, то мы идём именно туда.

Даже быстрый взгляд на полученные результаты классификации особых точек решений даёт основания для выбора целого ряда интересных продолжений метода.

Сейчас я предлагаю пока то, что лежит на поверхности, оставляя себе для размышления  неочевидные задачи. Отсутствие систематической возможности публикаций приучило меня не решать задачи, которые можно решать не останавливаясь.

Или лёгкие рекламные результаты, или такие интригующие задачи, что я просто не могу их не решать. Вот просыпаюсь, а они уже сидят рядом со мной и ждут, что я обращу на них внимание.

А пока, вслед за классификацией особых точек, только полные списки целых и конечнозначных решений.

 Глава 6. КАМ-теория (скачать).

Теория Колмогорова – Арнольда – Мозера меня удивила своей неожиданностью.

В самом деле, когда возникает в математике новое понятие, а возникают они, как правило, как инструмент для решения проблемы, то дальше начинаются вопросы о свойствах этого понятия, о возможностях его обобщения  и расширения области применения. Примеры не привожу – их сколько угодно.

А вот идея, что инвариантные торы интегрируемой системы сохраняются, мне показалась и красивой, и неожиданной и очень эффектно разрешённой.

Мне и сейчас метод Ньютона, применённый в КАМ-теории кажется очень элегантным, даже несмотря на то, что, надо признать, позволяет доказать только существование торов, но очень неэффективен в деле исследования торов.

Поэтому приходится обращаяться к прямым методам, то есть к рядам Линдштедта, и всё доказывать для них, поскольку именно они дают приближение для инвариантных торов.

Поэтому, при всей красоте метода Ньютона, я о нём ничего не пишу. Полагаю, что этот замечательный пример математической классики может восхищать так же как восхищают древние трактаты, фрески, сооружения, но для настоящей работы профессионалу понадобятся может и не такие вычурные, а существенно более простые интсрументы.

И этими инструментами пользуюсь я в одиночестве, так как только я их представил самым авторитетным изданиям и специалистам, издания и специалисты ответили, что тема не интересна, инструменты не нужны.

Впрочем, ответ этот я получил через неведомых мне рецензентов и даже не знаю было ли им стыдно писать такой ответ мне.

В тему об оценках своих результатов добавлю, что несколько неожиданно для меня при обсуждении моих результатов В.И. Арнольд не удивился возможности доказательства равномерной сходимости ряда Линдштедта, но результат о распадении тора назвал весьма интересным. 

Как и в предыдущих главах я пишу только то, что опубликовано, а не опубликованные результаты привожу без доказательства.

Мало ли что? Вдруг мне скажут, что моя публикация на блоге препятствует публикации в солидном журнале.

      Глава 7. Интегрируемость многомерного обобщения случая Лагранжа задачи о движении тяжёлого твёрдого тела (скачать). 

Главу о многомерном случае Лагранжа я с присущей мне скромностью помещаю в самый конец книги, поскольку эта задача не является классической, в отличие от всех предыдущих, а полностью разобрана мною.

Предложил рассмотреть эту задачу А.Т. Фоменко, мой научный руководитель, за что я ему искренне благодарен.

Первая заметка на эту тему была сдана в печать в 1978 году, имела всего 6 страничек и была опубликована в “Математическом сборнике” в 1981 году.

За три года ожидания публикации вышло столько статей по интегрованию задач механики и в таких серьёзных журналах, что я изрядно взгрустнул, полагая, что мою статью передовая математическая общественность вообще никак не заметит.

Уж не знаю, как такое случилось, но соотношение объёма моей заметки и количества ссылок, а именно, под пятьдесят, меня больше удивляет, чем греет моё самолюбие. Последняя ссылка, согласно ResearchGate: “Your publication has 1 new citation

On the Motion of a Multidimensional Body with Fixed Point in a Gravitational Field

Singular Reduction of the 2-Body Problem on the 3-Sphere and the 4-Dimensional Spinning Top

Article

Full-text available

Jul 2019 REGUL CHAOTIC DYN

Philip Arathoon.”

Поэтому, надеюсь, и продолжение моей заметки, в том числе статья в “Математическом сборнике” в 2011, будут интересны.

home page