Несколько слов о малоинтересных темах в современной науке: КАМ-теория и функции Левитана

В.И. Арнольд и Б.М. Левитан.

Есть дела, которые мы делаем, потому что жизнь вынуждает. Например, зарабатываем деньги так, как получается. Есть дела, которые представляют какой-то, может быть иррациональный, внутренний личный интерес.

Но есть дела, сделать которые мы считаем долгом перед теми людьми, которым, не то чтобы обещали сделать, но которые одобрили, вдохновили и, возможно, надеялись, что мы всё-таки довершим начатое.  

Таким образом у меня возникло чувство долга перед В.И. Арнольдом и Б.М. Левитаном.

В далёком 1990 году я решил (кто–то скажет, что по легкомыслию, кто-то по самонадеянности) разобраться с загадочными инвариантными торами, которых очень много, которые занимают почти всё симплектическое пространство минус эпсилон, но которые никто не может предъявить в явном виде. Глубоко уважаемый мною С.П.Новиков написал в своих воспоминаниях: "Запомнился мне пленарный доклад – молодого Арнольда, называвшийся "Устойчивость Солнечной системы". Народ ломился внутрь, сесть было некуда. Позднее я охладел к результатам метода КАМ в небесной механике. Стало ясно, что они соответствуют фантастически малым значениям малого параметра, далеким от какой-либо реальности. "

Не могу не согласиться со словами С.П. Новикова по поводу имевшихся на тот момент оценок, но я посчитал, что прямые методы в КАМ-теории позволят существенно улучшить эти оценки и результат этого понимания анонсировал в Украинских докладах (А.В.Беляев, "О решениях, задающих инвариантные торы возмущенной гамильтоновой системы", Доклады АН УССР, т. 1, с. 10--14, 1990, представил И.В. Скрыпник).

Здесь отмечу, что я всегда с чувством глубокой благодарности вспоминаю И.В. Скрыпника ещё и за две представленные в ДАН УССР статьи, а особенно, за решение опубликовать мою статью, посвящённую случаю Гесса (её дополненный вариант я уже гораздо позднее опубликовал в "Мат. сборнике") при  отсутствии положительных рецензий (и даже наличии двух отрицательных). А представлять её пришлось замечательному специалисту по уравнениям в частных производных (но ни разу не специалисту по твёрдому телу А.Е. Шишкову).

 

Вдобавок, используя данный подход, я получил некоторое объяснение того, как возможно распадаются торы. Оказалось, что условно-периодические функции, задававшие целые торы при некотором параметре возмущения могут превращаться в функции Левитана. К слову, находясь на стажировке в МГУ я огромным удовольствием посещал лекции Б.М. Левитана по почти периодическим функциям.

Оттиск заметки о торах я показал В.И. Арнольду и получил от него благословение опубликовать полный текст с подробными доказательствами. При этом он сказал, что ему нравится теорема о разрушении тора.

Как и вся моя математическая жизнь, история, связанная с публикацией этих результатов, имела свои радости и огорчения, творческие взлёты и падения из-за пробелов в творческих взлётах. Подробности может быть когда-нибудь я и расскажу на блоге, но пока мне кажется, это не очень важно. Но важно, в первую очередь для меня самого, отчитаться пусть с опозданием (я старался, но всё же опоздал) о проделанной работе. Не соглашусь с теми, кто скажет, что если поздно, то бесполезно. Я православный человек и моя философия утверждает, что ничего не бывает поздно и бесполезно, а в особенности выполненная работа.

Прямое доказательство теоремы Пуанкаре о существовании ряда Линдштедта для инвариантных торов в общем виде я всё-таки сумел опубликовать, за что искренне признателен А.М. Самойленко, который не взирая на отрицательные отзывы от рецензента в уважаемом харьковском журнале, лично представил мою статью в Украинский математический вестник, "О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах", Том 8 (2011), № 3, 343 – 355.

Наконец, я представил подробный текст своих доказательств в уважаемый московский журнал, который не называю, поскольку он решил мою статью не печатать по уважительной для журнала и для меня причине. Рецензенту статья показалась не представляющей интереса. 

Спорить с этим решительно невозможно, потому что и рецензент, и журнал обладают полным правом выбора тематики для публикуемых статей. 

К истории с публикацией я добавлю только то, что статья была на рассмотрении с  17.12.2017 по 01.08.2018 и в результате этого рассмотрения ошибок в статье не обнаружено. 

Разумеется, это не является полной гарантией того, что доказательства безукоризненны, но уровень этого журнала всё же даёт основания допускать, что и легкомысленного отношения к статье, находящейся на рассмотрении 7 с половиной месяцев не было.

В заключение привожу основные теоремы.

Доказательство равномерной сходимости в оригинале статьи, которую надеюсь опубликовать может быть когда-нибудь, занимает две с половиной страницы (с 16 по 18).

Теорема о разрушении тора имеет весьма простое доказательство, но так бывает. Явная лёгкость в доказательстве является следствием прямого конструктивного подхода к представлению торов, в отличие от классического метода ускоренной сходимости.

И наконец, теорема об аналитических свойствах инвариантных торов. Как практически и все мои результаты по аналитическим свойствам решений гамильтоновых систем -- персона нон грата в современной математической гостинной. 

До меня доходят сведения, что на математической кухне мои результаты обсуждают. Спасибо и за это.

home page