ШКОЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ – ЗА ГОД!

Мне не раз приходилось иметь дело со школьниками, приходящими в выпускном классе в сентябре и желающими подготовиться ко вступлению в вуз. Что-то они знали сносно, что-то не очень. Но надёжной базы не было, всё, что они помнили, объяснить не могли.

Я далёк от того, чтобы искать виноватого, хотя, конечно, имею объяснение, из-за чего эта системная проблема возникает.

Никогда не было времени записать на носитель всё, что я в таких случаях рассказывал. Сейчас не знаю надолго ли, но время есть.

Книга "Школьную математику – за год!"  не будет толстой. В ней задачи будут в очень небольшом количестве, как иллюстрации. По поводу задач отсылаю к замечательному задачнику Сканави.

Пользуясь случаем, сообщаю, что Сканави – это фамилия редактора книги Марка Ивановича. А авторами её являются замечательные педагоги-математики В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова, И.Ф. Орловская, Р.И. Позойский, Г.С. Ряховская, опять же М.И. Сканави, А.М. Суходский и Н.М. Фёдорова.

Учится будем не по классам, а по темам, как в книге Сканави. Моя задача – объяснить, откуда берутся формулы и рассказать что-нибудь полезное в связи с задачами. 

Содержание (скачать)

Гл.1. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства.
Гл. 2.Тригонометрические выражения, уравнения, неравенства.
Гл. 3. Показательная функция. Логарифм.
Гл. 4. Прогрессии. Бином Ньютона. 

Что касается, геометрии, то трудно дать короткие установки, для решения всех задач. Они могут быть весьма разнообразными, поэтому здесь либо самостоятельно, опираясь на обычный школьный учебник, либо с учителем. Советую также ознакомиться с введением в аналитическую геометрию (§1,2).
Когда я занимаюсь с учениками я, на сколько возможно, учу их думать и тренирую сообразительность. Возможно кто-то спросит, а не одно ли это и то же. Отвечу.

Нет, думать – в первую очередь, наводить порядок в голове: систематизировать знания, выстраивать логические цепочки рассуждений. Быть сообразительным – это уметь выдумывать нестандартные гипотезы.

И первое, и второе, разумеется, полезно, эти качества часто в разных сочетаниях присутствуют одновременно, но совершенно необходимо первое.

Умение думать возникает и развивается при разборе доказательств. Печаль сегодняшнего дня – это то, что даже школьные отличники всё знают и ничего не понимают. Просто добросовестно выучили все формулы и запомнили все типы решений школьных задач, которых не так уж и много.

Моя книга пишется, в первую очередь, ради создания надёжной основы для дальнейшего изучения математики и усвоения навыка думать. В идеальном варианте на любую информацию человек должен реагировать, автоматически задавая себе вопросы: кто сказал, правдоподобно ли это, зачем сказал, что полезного для меня.

Что касается сообразительности, то можно решать олимпиадные задачи или хотя бы разбирать их решения. Но замечу, что просто отличное знание и понимание школьной программы, даже без сообразительности, вполне достаточная база для первых двух курсов вуза.

Теперь два слова для специалистов и для вдумчивых школьников. На чём я собираюсь основывать доказательства?

Возможно, удивлю, но на аксиомах только во вторую очередь. А в первую – на наглядной очевидности. Известно, что школьные аксиомы вовсе не формулируются полным списком. О них обычно говорят вскользь, что вот, надо, значит, всё основывать на аксиомах. Но в школьных доказательствах я что-то не припомню постоянного упоминания, что, например,

 a+b = b+a

это аксиома или, что «между двумя точками можно провести прямую и притом только одну», а вот, что "произведение нуля на любое число снова нуль" - это не аксиома.

Ясно, почему так происходит. На то они и аксиомы, что очевидны. А до понятия строгости школьникам ещё надо дорасти.

Тем более, что, напомню: теорема Ферма (1601-1665) о производной в точке экстремума была доказана и интегральное исчисление Ньютона (1642-1727) и Лейбница (1646-1716) было создано задолго до строгого понятия предела Коши (1789-1857). А аксиомы Колмогорова (1903-1987) теории вероятности после основателя теории Паскаля (1623-1662) появились и того позже. И ничего, существовало и дифференциальное, и интегральное исчисление, и теория вероятностей.

Но я, конечно, не против аксиом. Просто я их помещаю не в начале, а в конце. Когда школьники созреют до осознания их необходимости, тогда и заглянут в них и убедятся, что всё в порядке. Все наглядно очевидные факты из аксиом таки вытекают.

Наоборот, в курсе высшей математики аксиомы формулируются вначале. Убеждать в их необходимости на первом курсе уже не нужно. Но это я забежал вперёд. В начало пути в высшую математику. Это в следующем сообщении.

home page