ЛЕКЦІЇ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Лекції з вищої математики Бєляєва О.В. для любителів математики.

Математичний аналіз (завантажити)

Математичний аналіз, як розділ вищої математики є класичною його частиною. 

Зазвичай він містить у собі всі основні поняття вищої математики, які потім зустрічаються у наступних більш спеціалізованих курсах. Оскільки таких понять набирається досить велика кількість, то викладання математичного аналізу зводиться до перерахування цієї кількості визначень та теорем, серед яких, природно, зустрічаються і вельми складні.

Пропонований нижче конспект курсу лекцій з математичного аналізу ґрунтується дещо на іншому принципі. Коротко цей принцип можна охарактеризувати таким чином: спочатку визначається список основних теорем, а потім вводяться тільки ті поняття, які необхідні для доведення теорем з вибраного списку.

 В результаті всі основні теореми стандартного курсу доводяться повністю. Подібний підхід дозволяє значно скоротити обсяг курсу за рахунок цілого ряду понять і фактів. Всі ці поняття, безумовно, необхідні для математика, який бажає мати серйозний апарат для дослідження математичних проблем в майбутньому. Однак, для фахівця, який не є чистим математиком, набагато важливіше мати тверду теоретичну основу для прикладних знань. Така основа може виникнути тільки в разі, якщо теореми не тільки запам'ятовуються на рівні формулювань, але і доводяться. 

Більш конкретно характеризуючи пропонований курс, скажімо, наприклад, що в ньому властивість компактності відрізка використовується тільки як властивість вкладеної системи відрізків мати спільну точку. Ні класичного визначення компактності і, відповідно, леми Бореля - Лебега, ні секвенційної компактності в ньому немає, хоч і доводиться існування збіжної підпослідовності обмеженої послідовності. Крім того, найважча теорема диференціального обчислення - теорема Тейлора - доводиться тривіальною інтеграцією по частинах в інтегральному численні.

 

Практичні заняття з математичного аналізу (завантажити)

Вивчення курсу вищої математики обов’язково потребує крім розбору теоретичної частини також і оволодіння вмінням розв’язання практичних задач. Деякі з них є досить стандартними, але є і такі, що потребують творчого мислення. Але навіть стандартні задачі можуть мати не єдиний спосіб їх розв’язання.

Ціль даного розділу дати допомогу в цій важливій частині засвоєння курсу. Виходячи з такої мети, розділ не є набором практичних занять, але набором тем з прикладами і порадами.

На відміну від теоретичної частини в викладанні практичних задач ми не намагаємся обов’язково розглядати методи розв’язання задач відповідно до викладеного матеріалу лекцій. Вважаємо, що маємо свободу використовувати, наприклад, формули Тейлора для розв’язання задач на знаходження границь, хоч існує традиція використовувати досить багато прийомів з тим, щоб обійтися лише основними класичними границями, що відповідає лише одному або двом членам ряду Тейлора. Також не бачимо проблеми використовувати правило Лопіталя до теми похідної.

Такий підхід дає більше можливостей для вибору найбільш ефективного методу розв’язання задач, тим більше, що намагання активно використовувати на початку курсу шкільні знання не є досить добре. Не має секрету в тому, що шкільні знання основуються не на вмінні довести відомі математичні факти, а виключно на авторитеті шкільного вчителя. Безумовно, що ці знання можливо використовувати, але необхідно при цьому нагадувати, що всі ці знання не підкріплені доведеннями або аксіомами. А найкраще ці не доведені факти доводити заново. Найбільше це відноситься до фактів геометрії, які дуже корисно передоводити методами аналітичної геометрії, мотивуючи це тим, що система аксіом Евкліда є само по собі неповною, так ще й неповно викладеною в шкільному курсі.

  

Лінійна алгебра (завантажити)

Одним з найважливіших розділів вищої математики є лінійна алгебра. За кількістю застосувань в самій математиці, фізиці та механіці лінійна алгебра порівнянна з такими розділами, як математичний аналіз і диференціальні рівняння. Що ж до застосувань за межами математичних теорій, то, скажімо, в економіці лінійна алгебра по своїх програм не має конкурентів і породжує цілу теорію, яку прийнято називати лінійним програмуванням.

На основі лінійної алгебри будується функціональний аналіз, який є апаратом квантової механіки. Нарешті, принципи лінійної алгебри використовує теорія, що дозволяє кодувати звукові гармонійні сигнали, тобто музику і мову. А це не мало не багато – цифрові технології.

Цих причин більш ніж достатньо, щоб приступити до вивчення основ лінійної алгебри.

  

Аналітична геометрія (завантажити)

Звернемо увагу на те, що маючи структуру лінійного простору,  а також скалярний добуток, ми можемо сформулювати будь-яку теорему евклідової геометрії і доводити її, спираючись на аксіоми, сформульовані в першому параграфі лекцій по лінійній алгебрі.

В цьому є та необхідність, що навіть до сьогоднішнього дню в школах викладається геометрія на основі евклідової аксіоматики. Але аксіоми формулюються не в повному обсязі навіть із списку Евкліда при тому, що і список Евкліда сам по собі не є повним в тому сенсі, що деякі твердження вважаються очевидними і не попадають ні в список аксіом, ні в список теорем.

Це не означає, що треба якось змінювати зміст шкільної геометрії. Навпаки, її цінність як раз у тому, що вона в великій мірі спирається на наявний досвід, тобто не є формальною.

В свій час із шкільного курсу вилучили арифметику і на вряд це підвищило рівень логічного мислення учнів. Адже хоч алгебра і дає більш швидкий результат при розв’язанні задач, самий зміст розв’язання повністю зникає за алгебраїчними викладками.

Отже, непогано починати з геометрії Евкліда, але в свій час потрібно на неї дивитися с точки зору Рене Декарта, який сказав, що розв’язав всі задачі геометрії і мав право це сказати. І щоб зрозуміти це необхідно все-таки розібратись і з аксіомами, і з теоремами Евкліда на основі координатного методу, а точніше на основі аксіом евклідового простору.

  

Теорія ймовірностей і математична статистика (завантажити)

В теорії ймовірностей приємно вражає, в першу чергу, дуже неочевидне обґрунтування Закону Великих Чисел и багатьох його узагальнень та посилень, як наприклад, Центральна Гранична Теорема, які вельми витончено показують, чому випадкові величини, коли їх набирається велика кількість, ведуть себе зовсім не випадково. Цим я и маю надію приємно здивувати.

Все інше, в першу чергу застосування, тобто, математична статистика, виглядають, досить рутинно, навіть в деякій мірі одноманітно.

Окрему підозру викликає походження теорії ймовірностей – з азартних ігор. Стандартний набір тем для задач – це гральні карти, кості и рулетка. Все це на грани здорової допитливості з нездоровою цікавістю.  

Але можливо саме  така  математика зможе  охолодити інтерес до азартних ігор?